행렬 명제 하나만 증명해주세요
이차 정사각행렬 A에대해서 A^3=A^5이면 A^2=A^4 이다
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+1 하면 어디까지 올릴 거 같음?
1. 역행렬 존재가정) => 자동 성립.
2. 역행렬 존재하지 않는다 가정) =>
A^2 = (a+d)A이므로 A^3 = (a+d)^2 A -----이런 식으로 나아가는데
식을 정리하면 A( (a+d)^4 - (a+d)^2 ) = 0이 나옴. A = 0 가정하면 역시 자동 성립.
A=0이 아님을 가정하면 a+d = 0이거나 (a+d)^2 = 1이 나오는데 a+d = 0 역시 자동성립하며 (a+d)^2 = 1일떄는 A^2 = (a+d)A, A^4 = (a+d)^3 A = (a+d) A 로서 성립.
2. 역행렬 존재하지 않을때
A^5 = A^3 * A^2 = A^3 이므로 A^2 = E
그러므로 A^2 = A^4 그냥 이렇게 보셔도 됩니다.
오 쩌네요 ㅋ 기발하네요 배워갑니다..
역행렬이 존재하지않는데 A^2=E가 어떻게 성립하나요?
그냥 역행렬이 존재하지 않는다, 역행렬이 존재한다 라고 나누지 말고 계산하면 되네요