역함수 미분 관련 문제입니다. 쉽게 설명 좀 해주세요...

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[미분가능한 함수 f(x)의 역함수를 g(x)라 하고, 함수 y=f(3x-2)의 역함수를 h(x)라 할 때, h'(x)를 g'(x)를 써서 나타내어라]

일단 문제는 이게 다입니다

개인적인 말을 몇마디 올리자면 역함수 미분과 관련해서 거의 포기상태이다가 언제부턴가 각성이라도 했는지

막히지않고 거침없이 풀려서 역함수 미분문제는 자신이 붙은 상태였는데 갑자기 이 문제에 막히고 말았습니다 -_-

문제집에서도 3점 그룹에 속해있고 문제 자체도 그다지 어렵지 않게 보였는데 이런 문제에 막힐줄은 상상도 못했네요 ㅡㅡ;;

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수외호구 · 189869 · 11/04/22 16:52

이런 문제를 헷갈리시는 분분이 종종 있네요.

(독동에서 올해 3월 대성에서 ln으로 표현된 거의 비슷한 문제가 출제되어서 질문하신분이 있었어요..
그분은 딱 그거틀려서 97점이시던데도 헷갈려하시더라구요 님만 그런거 아니니까 걱정뚝)

h(x)를 직접 나타내세요.

y=f(3x-2)에서 x와 y의 자리를 바꿔준 후

그 식에서 y= ~~~ 로 표현하게 되면 y=~~~=h(x)인거죠

x=f(3y-2) 에서

g(x)=3y -2 ----------> 윗식에서 이 식으로 넘어올 수 있는 이유는, f(g(x))=x 니깐 그걸 이용해서 양변의 값을 g(x)에 각각 대입만 해준겁니다

y={g(x)+2}/3 = h(x) 입니다

h'(x) = 1/3 g'(x) 가 되겠네요

헷갈리신 이유는 y=f(3x-2)의 역함수를 표현하는 법을 모르시거나 잊으신 것이므로

고등수학 하의 함수 단원 역함수 부분에서 허점이 생긴 것이니 그쪽을 참고하셔서 보완하시면 될 듯 하네요

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아탈란테 · 278323 · 11/04/22 23:37

일단 설명해주신 부분은 이해됬습니다

근데 추가질문요~

교과서나 개념서에 역함수 미분에 대해서 설명해놓은

역함수의 도함수 = 1/주어진 함수의 도함수

이걸 사용해서는 못푸나요?

아 그리고 역함수가 거지같은게 미분과 상관없이 평소처럼 역함수 구할땐 주어진 함수에서 y와 x를 바꿔서 무난하게 역함수를 구해왔기때문에

"주어진 함수의 역함수를 구할때는 y와 x를 뒤바꿔서 다시 y=~~~로 표현한다"는 생각이 거의 자동적으로 드는 상태였거든요

근데 미분 들어오니까 f의 역함수가 g일때 y=f(x)이면 x=g(y)이게 맞는거라고 설명을 해놨더라구요 ㅡㅡ; 지금까지 해온거면 y=g(x)이게 맞는거 아닌가요?

진짜 역함수 개같아 죽겠네요 쩝..

답변 감사합니다 혹시 글 확인하시게 되면 답변 부탁드릴게요;;

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수외호구 · 189869 · 11/04/23 13:57

그렇게 풀 수 있습니다. 다만 좀 헷갈리기 쉬워서ㅎㅎ

f(3x-2)=i(x) 라 하면 i'(x)=3f'(3x-2) 이고
h'(x)=1/i'(x) = 1/3f'(3x-2)

f'(3x-2) 를 g'(x)로 표현해야겠죠
1/f'(x)=g'(x) 이므로
1/f'(3x-2)=g'(3x-2)

따라서 답은 같게 나옵니다.
하지만 첫번째 방법이 실수나 헷갈릴 부분이 적습니다.

그리고 아래 부분 답변은

y=f(x) 에서
양변이 같으므로 양변의 값을 각각 g에 대입한 값도 같죠.
g(y)=g(f(x))= x [ 이거 제 첫번째 답변에서도 썼던 부분이죠..]

즉

'y=f(x) 이면 x=g(y)'는 맞는 표현입니다.
f(a)=b 일때 a=g(b) 이다 라는 표현이랑 같은말이에요.

저번에 독동에서
f의 역함수가 g(x) 이면 x=g(y) 이다
라고 했을 때 틀렸다고 했는데
자명하게 맞는표현이네요 ㅡㅡ; 이런

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shininglore · 335855 · 11/04/23 14:03 · MS 2010

이렇게도 풀수 있습니다..
먼저 f(x)의 역함수가 g(x)이고, f(3x-2)의 역함수가 h(x)니까
1.g(f(x)) = x
2.h(f(3x-2))=x
이렇게 두 식이 나옵니다..
위에꺼 x에 대해서 양변 미분해봅시다..
g'(f(x))f '(x) = 1이 됩니다

아래꺼를 x에 대해서 미분해볼까요
h'(f(3x-2)) 3f '(3x-2) = 1이 됩니다..
우리가 구해야 하는 것은 h'(x)를 g '(x)에 대해서 나타내는 것이니까
1
h'(f(3x-2))=------------ = 1/3 g '(f(3x-2)) 이렇게 됩니다( 위의 두 식 이용하시면 나옵니다)
3f '(3x-2)

결국 h '(f(3x-2)) = 1/3g'(f(3x-2))가 되는데 f(3x-2)는 어차피 같으니까 t로 치환한다음에 다시 x로 치환하시면

답은 h'(x)= 1/3 g'(x) 나오네요..

원함수와 역함수를 합성시키면 항등함수가 된다는 식을 가지고 양변을 미분해서 원하는 값을 얻을수 있는 x를 대입해서 찾아내면 역함수의 도함수 = 1 / 주어진 함수의 도함수 이런 식 안쓰셔도 됩니다

이렇게 문자로 안나오고 숫자로 나올때 특히 편리합니다

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