수학 교과서 개념을 중심으로 공부하는 방법 - 암기보다는 생략
이 내용은 전적으로 제가 생각하는 마음가짐을 담았습니다.
팩트가 아닌 주장입니다.
1. 저는 고등학교 때, 그렇게 공부를 잘하지 않았습니다.
2. 재수때 공부를 15시간씩 두유먹으면서 했는데 안됐습니다.
3. 삼반수때 느낀 것을 쓰려고 합니다. 그때는 교과서와 중학개념까지 봤습니다.
재수 때, 어떻게 푸는지를 암기합니다.
풀이 전체를 암기하고 암기하는데 시간을 보냅니다.
어떤 얘기인지 모를때도 있습니다.
그래도 풀 수 있는 문제는 빠르게 풀 수 있었습니다.
모르는 문제가 많아서 그렇죠.
뭐.. 결과는 아시다시피.. 망했습니다. 분명 공부시간은 많았는데 말이죠.
삼반수 때는 그렇게 빡세게 공부하는 것을 안하게됩니다.
재수때보다 빡세게가 안됐거든요.
그 대신 분명 아는 공식인데 왜 나는 털렸을까 하는 고민을 하게 됩니다.
중학교 교육과정도 많이 봅니다. 그 결과를 정리하자면 다음과 같습니다.
1. 중학교 과정에서 등식의 성질 파트가 있습니다. 내용은 다음과 같습니다.
(1) 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.
a=b이면 a+c=b+c
(2) 등식의 양변에 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다.
a=b이면 a-c=b-c
(3) 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.
a=b이면 ac=bc
(4) 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
a=b이면 a/c=b/c (단, c≠0)
예를들어 이항에서, x-a=b 가 x=a+b 인 이유를 봅시다.
등식의 성질 중 1번. 같은 수 a를 더했기 때문입니다. 이것을 간단하게 한 것이 이항입니다.
또한, 예전에 칼럼 쓴 내용 중, 이런게 있습니다.
교과서의 개념에서 중요하지 않은 것은 없습니다. http://orbi.kr/0008306461
이제 생각해봅시다. 분모와 분자의 최고차항의 계수만 따오면 극한값이 계산된다는 스킬은
분모(는 0이아님) 와 분자 모두 수렴해야 극한값을 구할 수 있다는 극한의 계산성질에 따른 것입니다.
2. 우리가 배우는 공식들과 스킬들은 우리가 이해할 수 있는 것들을 축약해놓은 것입니다.
그 스킬들만을 이해하기는 어려운 일입니다. 실제로 저는 그것을 이해하지 못한채로 재수때 공부했습니다.
그때의 저는 열심히 하면 되겠지 하는 막연한 생각을 가졌습니다. 보란듯이 실패하게 되었습니다.
하지만 그 공식들만으로 이해가 되는 학생들도 있는 듯 합니다.
그 공식과 스킬들이 어떤 내용을 함축하고 있는지를 원래, 혹은 배워서 알고 있는 경우인것 같습니다.
이것은, 제 경험과 제 과외학생들의 모습을 본 결과를 보고 추측한 내용입니다.
3. 공식의 유도과정을 이해하라는 이유는, 그것이 어떤 의미인지 유도과정에서 파악하라는 것 같습니다.
그것은 공식의 의미를 더 쉽고 더 간단하게 마음속에 기억해야한다는 의미인 것 같습니다.
그렇게 했을 경우, 그 공식을 활용하는 문제에서는 외운 학생과의 속도보다 다소 느린 것 같습니다.
하지만 그 공식의 의미를 묻는 문제의 경우, 정답률과 풀이 속도에서 차이가 있는 것을 직접 경험했습니다.
고난이도 4점 문제를 다룰때, 특히 개념의 의미를 묻는 문제가 자주 나오게 됩니다.
특히 실력이 고정 1~2등급이 아닐 경우에 유용한 것 같습니다.
고정 1등급 이상이거나, 6등급 이하의 경우 직접 문제에 적용하는 방식이 더 좋은듯 합니다.
그 사이의 등급, 혹은 진동폭이 큰 점수대의 학생이라면 이해식으로 공부하는게 낫습니다.
4. 다른 개념과 연결지어 공부했을 때, 그 개념의 오류가 현저히 적었습니다.
목차를 이용한 공부법은 효과가 있는 것 같습니다.
이것은 제가 직접 경험했으며 제 학생들과 주변의 지인들이 주장했습니다.
5. 문제에 적용을 반드시 해야합니다.
문제에 적용하지 않고 개념만을 고민한 학생의 경우 점수 상승이 크지않았습니다.
문제에 적용을 하는 이유는 제 경험을 미루어보아 추측건대
아마 개념을 고민한 그 내용의 의미를 이해한 후 문제풀이에서는 생략한 것 같습니다.
그렇게 했을 경우, 계산속도는 아주 약간 느려집니다. 생각을 하면서 풀기 때문입니다.
하지만 정확성은 확실히 높아지는 것 같습니다.
아마 문제에 적용을 하는 이유는 논리로 문제를 풀어나가기엔 시간이 많이 걸리므로
논리로 문제를 계속 풀어보고 익숙하고 충분히 아는 부분을 생략하기 위한 것 같습니다.
6. 가능하다면 다양한 공식들과 활용 가능한 수학적 지식을 알아두는 것도 나쁘지 않습니다.
이것은 제가 최근에 로피탈을 배우면서 추측한 것입니다. 다만 두가지 전제조건이 필요합니다.
첫째로 그 개념이 기존 개념에 혼란을 줄 가능성이 없어야합니다.
둘째로 그 개념을 학생이 이해해야합니다.
고정 1등급 이상이 아닌경우에는 다양한 공식보다는 교과개념을 더 공부하는 것이 좋은 것 같습니다.
7. 가능하다면 다양한 공식들과 교과개념 사이의 연결을 해보면 더 효과적일 수 있을 것 같습니다.
이것이 가능하다면, 다양한 공식들도 충분한 훈련을 통해서 수능에 쓸 수 있을 것 같습니다.
마찬가지로 최근에 로피탈의 정리를 배우면서 추측한 것입니다.
여러분께 말씀드리고 싶은 것은 이것입니다.
도구의 최소화를 해서, 교과개념만으로 수능을 준비할 것인가.
혹은 다양한 도구를 익혀두어 어떤 경우에도 대비를 할 수 있도록 할 것인가.
두가지의 방법이 존재합니다. 모두가 옳은 방법이라 생각합니다
어떤 학생에게는 도구를 다양하게 익혀도 괜찮은 학생이 있습니다.
어떤 학생에게는 확실하게 교과개념만 이해하는게 나을 수 있습니다.
각각의 전략을 잘 파악해보고 선택하시길 바랍니다.
무조건적인 맹신은 금물입니다.
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좀 더 어려운 개념을 예시를 통해 개념을 학습하는 방법과2930번을 교과서 개념을 활용하여 푸는 과정을 보여주시면 수험생들에게 도움이 더 될 듯 하네요
글만 보고 무릎을 탁 치고 이해하기에는 추상적인 것 같아서 취지는훌륭합니디ㅣ
그건 이 칼럼 참고해보시면 될것같아요.
http://orbi.kr/00011115763
http://orbi.kr/00011893846
결론 : 두유
진짜 스벅에서 우유대신 검은콩두유 넣어주면 먹을것같은데
흰콩두유인것같아서 안먹을래요.
두유 라이크 두유?
왓ㄷ.
ㅓ뿩
재수때 15시간씩 공부하셧음에도 성공하지못한이유가 뭔지 물어봐도될까요..?
당연하죠. 그냥 막노동했으니까
고민없이 걍 풀어제꼈으니까요.
생각이 너무 없는 공부는 그냥 안한겁니다.
이거진짜 맞는말....
공부량=생각하는시간
수학을푸는데 어떻게 고민을안할수가잇어요??
3점짜리만푸셨나요?? 아니면 그냥 모르겟으면 바로 답지봤어요?
어려운 4점 못풀거나
그냥 개념을 대응시켜서 풀었습니다.
교과서 개념이 매우중요한것은 맞지만 교과서로만 공부하기에는 교과서 내에 내포되어있는 의미를 정확하게 이해하기는 쉽지 않을것같아요 그래서 인강이 필요한것 같구요 그리고 요즘에는 수학의 명작같은 책 보면 교과서 내용을 기반으로 개념을 어떻게 이해하고 적용해야 하는지 서술이 잘 되어있더라구요 이런 양질의 컨텐츠들도 많이나오고 있으니까 교과서를 중요시하되 이런책들도 많이 활용하는게 좋을것같아요
맞는 얘기입니다. 다만 요즘의 개념서는 아직까지는 교과서의 퀄리티까지는 못온것같습니다.
교과서방식의 생각과 고민은 충분히 해볼만한 가치가있습니다.
인강은 저는 돈없어서 못들어봐서 모릅니다
교과서가 퀄리티가 좋구나.. 왜 나는 지금까지
교과서를 등한시했던거지 ㅋㅋㅋ 그러고보니
한석원t도 교과서와 기출문제집한권이면 만점가능이라고 하셧는데
많이 생각했을때 가능성이 없지는 않죠.
그 실력을 갖추는건 그런데
일단 확률을 높이기위해서는 실전연습 충분히 해야합니다.
어? 혹시 공신??
네
근데 제가 느끼는건데 이거 과탐도 동일하지않나요? 과탐도 뭔가 개념개념만 하다가 문제안풀고 개념만공부하니까 까먹는경우랑 또 아무생각없이 그 개념이 뭘뜻하는지 모르는체 문제만 제끼는경우 이 두경우의 해법역시 의미님이 쓰신 내용과 동같지않나요?
목차는 공부해두셔야합니다.
어떤 내용으로 어떤 세계가 있는지정도는
큰 분류를 통해서 봐야합니다
그 이후에는 사실 문제연습입니다.
과탐은 시간이 수학보다 짧기에 타임어택이 분명 존재합니다.
감사합니다. 항상 일반청의미님 칼럼 정독하고 있습니다. 계획을 세워두고도 옳은건지, 잘 하고 있는지에 대한 감각이 없어서 고민중이었는데 제 방법을 고치는 데에 도움이 된 것 같습니다ㅠㅠㅠㅠ 앞으로도 좋은 칼럼 부탁드립니다. 이전에도 청의미님 칼럼 보고 생각을 고쳐먹은 적이 있었는데 이렇게 또 좋은 글 써주셔서 감사할 따름입니다
결국 개념에 대한 매애애애우 깊은고민+문풀입니다.
감사합니당. 화이팅해요
교과개념정리하고 문제적용하는책으로 명작추천~
저야 아는게 없으니 말을 아끼겠슴다..ㅎ
저랑 정말 같은 방식으로 공부하시네요
개념에 집착하는 경향이 있어서 중학과정 수1 수2까지 다 복습할 예정ㅋㅋ 수학,과탐은 목차 자주 읽어봐요 흐름 느끼려고.. 저처럼 하셔서 효과본 분이 있으니 좀 더 제 공부법에 확신이 생기네요.
좋은 글 감사합니다
조금 팁을 드리자면 그거 하다가 되게 멘탈 터질때가 많을거에요
그때도 그 부족한 부분을 개념으로 채울수 있을지 고민하시면 됩니다.
그렇게 해서 실력이 느는 느낌이 확실히 들면 계속 하시는거구요.
그냥 공부의 목적 생각하시고 그 목적에 부합하는 공부하시면 딴거 다 필요없을것같아요
오 유튜브에서 본 강성태 공신 채널 분이시네...존경합니다ㅜ
어우...ㄷㄷ 공신잼...
감사합니다
두유하고 15시간보니까 확 생각나네요!! 영상 잘봤습니당ㅎㅎ
갓두유...ㅎㅎ
저 목차차얘기나와서 궁금한게 제가 과탐공부할때 잘까먹습니다 근데 이게 복습의문제라생각했느대 제가 전체단원을 유가적으로 은보고 각각을 개인으로봐서 나온문제라생각해도되나요? 공부는 겁나하는데 자주안보면 까먹을거같고 또 실제로 지엽적인건 자주까먹고 그럽니다.. ㅇ거에대한 해걀책ㅇ 일단 목차외우고 거기에 지식을 쌓는느낌? 으로 공부하려는데 어떻게생각하시나요? 아그리고 수학공부하실때 제가 기벡만 1주일하고 ㄱㄷ음 ㅁ적1주일 하는식으로 1과목씩 밀도있게하려하는데 어떻게생각하시나요? 근데 이런식으로하먼 기벡할때 미적까먹을거같고 해서 걱정이되네요..
&수학 공부핰ㅋ실때 모든과목을 일정하게공부하셨나요? 수험생때 이과과목을 어떻게배분해서 공부하셨는지 궁금합니디 매일 모든과목을 다공부하니까 뭔가 성적이오른다는 느낌이안듭니다
1.흐름을 기억하고 반복합니다. 그게 문제입니다.
2.미적분과 기벡이 어떻게 연결되는지 파악하세요.
3.아무생각 안하고 했습니다. 그냥 했는데..
그냥 저는 세트형 문항이라.. 다했어야했습니다.
저는 단원별 기출문제를 삼수때 풀어보지 않았습니다.
정확하게말해서는 못했습니다. 그때 돈이 쫄려서 쫄보되더라구요.
와.. 허리는 안아프셨나요
ㄹㅇ 아파 죽을뻔했지요..ㅎ
재수생 좋은 팁 얻어가요 ㅎㅎ
이게 비단 수능 수학영역뿐만 아니라 공대나 자연대에서 대학수학 공부할때도 ㄹㅇ중요합니다
공부법은 어디 따로있는게 아니라 계속 공부를 하다보면 알아서 스스로 터득하게됨. 그러니깐 그 방법을 어디서 찾으려고 할게 아니라 본인이 직접 자기에게 맞는 방법을 발견해야함. 참고로 수학같은경우 저는 인강학원 다 안하고 그냥 원리를 혼자 이해한다음에 한 문제가지고도 계속해서 고민해봄. 이 원리를 확실히 이해하고있으면 단순히 공식을 암기한것보다도 훨씬 효율성이 높은게 어떤 문제가 나오더라도 확신이 있으므로 풀수있는거임. 그래서 공부를 많이 하진않고 하루에 수학 1~2시간 정도만(안하는날도있었고)했는데도 작년 수능 가형 2등급. 물론 절대적인 시간 투자가 부족했던 게 있어서 1등급은 안나옴(절대적인 시간도 중요). 째튼 말하려는 거는 공부법을 모른다고 고민할게 아니라 공부를 하다보면 자연스럽게 알게되는거고, 수학은 특히 이과의 경우 원리를 알고있으면 이렇게 푸는게 맞나 하는 의심없이 여러가지 방법으로 풀수가있음. 반드시 원리를 이해하셈. (쉽게 말하자면 공식이 어떻게 유도됐는지나 그 공식이 왜그런건지)
공부를 하다보면 자연스럽게 터득된다는것은 약간 더 간듯 합니다.
다만, 기본을 중심으로 공부를 하다보면 어느정도는 자연스럽게 터득됩니다.
기본을 중심으로 학습할 때에 한해서입니다.
감사합니다 스크랩할게요