[직관적인 접근]와 [논리적 풀이]의 중요성 -문이과 공통
[직관적인 접근]의 중요성에 대하여 다루고자 합니다. 먼저 [교과서 지도서]에 있는 다음 내용들을 봅시다.
[교과서]에는 정제된 풀이만을 서술하고 있지만, 그것은 교과서라서 그렇고 실제로 수학 전공 서적을 공부해봤다면 책에는 당연히 정제된 풀이만을 서술할 수밖에 없음을 알 수 있을 것입니다.
대학교 수학 전공 서적의 일부분입니다.
그림도 하나도 없죠. 그래서 한줄 한줄 이해해나가기 너무어려우며, 잘가르치는 교수님의 경우 항상 그림과 함께 설명해주며 학생들을 이해시켜 나갑니다.
여튼 마찬가지로 말그대로 교과서라서 어쩔수 없이 정제된 풀이만 남겨 놓은 것이고 실제 그 이론을 만들때에는 수많은 직관적 이해가 뒤에 숨어 있었던 것이고요. 그렇기 때문에 가르칠 때에는 실제로 [교과서 지도서]에서 항상 '직관적인 이해'를 학생에게 먼저 시켜보라며 강조하고 있습니다. 제가 올려놓은 지도서 2가지 예시 외에도 엄청나게 많습니다. ㅎㅎ
즉, 공부하는 입장에서는 직관적인 이해를 시도해보는 것이 매우 매우 중요하며 그렇게 해야 진짜 수학실력이 늡니다.
직관과 논리는 매우 상보적인 관계이며 직관적인 이해 없이 결과론적인 논리적인 풀이만 주입해서는 안 됩니다.
논리적 풀이를 한 사람도 '대부분' 직관적인 풀이에서 시작하여 논리적으로 마무리 지은 것이며 '대부분'은 직관적 능력이 되어야 결국은 논리적인 풀이도 할 수 있게 됩니다.또 반대로 거기서 얻은 논리력을 적용하고 펼치면서 직관적인 이해력이 성장하기도 합니다. 무엇의 선후관계를 두는 것이 아니라 '상보적'이고 함께 공부해야한다는 것입니다.
(문과도 풀수있습니다.)
위의 문제를 반드시 먼저 풀어보고 글을 보도록 합시다.
그래프를 통해 [직관적 단서]를 먼저 얻어봅시다. 그래프를 그려 직관적인 단서를 얻으려는 시도는 중요합니다.
[직관적 단서] - 풀이라는게 아니고 추측에 불과함.
y=3, y=4 등까지 계속해서 그래프를 그려보면 an은 2(n-1)로 가까워지는 것을 그래프에서 직관적으로 알 수 있고,
an을 2(n-1)과 유사한 값으로 생각할 수 있습니다. 즉, an/n의 극한값은 2(n-1)/n의 극한값과 같아서 2라고 쉽게 추론할 수 있을 것입니다. 그냥 그럴 것 같다라고 예측했을 뿐, 논리적 풀이는 아니죠.
1. 실제 시험장에서는 스스로 '직관적 확신'이 있다면 저 상황에서 마무리 지어도 좋습니다.
2. 공부하는 학생이라면 '조금이라도 불확실'하다면 반드시 '논리적'으로 확인하는 연습을 해야합니다.
3. 본인이 직관이 라마누잔급이라도, 확신에 확신을 거듭하더라도, 수험생이라면 반드시'논리적 확인'을 해야합니다.
4. '직관적 이해'과정 없이 문제의 핵심 풀이법인 논리적 풀이만 배웠다면 지금이라도 그래프를 그려보고 스스로 직관적으로 이해하는 시도를 해야합니다. 앞으로 어떤 문제를 보더라도요. 그게 [교과서 지도서]에서도 말하는 '직관적으로 먼저 이해'해보는 것의 필요성입니다.
이제 논리적 풀이를 해볼까요? 논리적 풀이는 대부분은 직관적으로 먼저 접근했다는 가정하에 할 수 있는것입니다.
그래프에 의한 직관적 접근도 없이 갑자기 논리적으로 푸는 것은 거의 불가능에 가까우며, (그래프=직관이란 말은 아님 상황마다 다름) 논리적으로 푸는 사람도 처음 공부할때에는 그래프와 함께 직관적인 접근을 해봤을 확률이 매우 높습니다. 앞서도 말했지만, 반대로 논리적으로 먼저 풀어낸 사람이라도 그래프를 보고 직관적으로 이해해볼 필요가 있습니다. 직관적으로 상황을 이해볼려고 시도하는 과정 자체가 수학 실력에 도움이 되는 것이고요.
[논리적 풀이 1]
직관적 단서로 출발하여, an은 2(n-1)로 점점 가까워지는 것을 직관적으로 알 수 있는데 이 느낌을 확인하기 위해 직접 근을 찾아보자.
이처럼 [직관적 단서]에서 출발하여 [논리적 풀이]로 마무리를 지을 때 직관과 논리가 모두 향상되어 가장 '효율적'으로 수학실력을 향상시킬 수 있으며, 어느 한쪽만 강조하는 경우는 [논리적 풀이]를 모르거나 귀찮아서 생략했거나, 본인이 직관으로 접근했었던 사실을 까먹고 논리만 강조하는 경우가 대다수입니다.
조금만 더 나아가보면 [직관적 단서]에서 극한 값이 2라고 예상한 상태에서는 2n 외의 다른 항이 쓸모 없을 것이라는것을 예측한 것이고 그 상황에서 더욱 더 올바른 논리적 접근은 다음과 같습니다.
(올바른이란 표현은 조금 어폐가 있고, 면접에서 더 뽑힐 확률이 높은 학생정도라 표현하면 좋을 듯합니다.)
[논리적 풀이 2]
위와 같이 풀이를 [논리적]으로 서술할 수 있게 된 사람의 속내에는 그래프를 통한 직관적인 접근이 있었고 그러한 직관이 있었기에 논리적 풀이를 서술할 수 있게 되었던 것입니다. 이처럼 수학을 잘하기 위해서는 반드시 '직관'과 '논리'가 모두 필요하다는 것이 핵심입니다. 즉, 공부하는 사람 입장에서는 직관적으로 답이 보이더라도 반드시 논리적으로 서술하는 연습이 필요하고, 수학적으로 중요한 과정인 직관을 무시하고 논리적 풀이만 달달 외우고 있으면 안 된다는 것이구요.
그 과정에서 직관과 논리가 모두 향상되어 수학 실력이 늘고, 실제로 수능에서는 2014수능 29번과 같이 대부분의 수험생이 [직관적 단서]에서 답을 낼수밖에 없었던 문제도 종종 출제되곤 하기 때문에 반드시 어려운 문제에 대해선 [직관]에 대한 길을 열어두셔야 100점을 받을 확률을 극대화 있습니다.
실제 2014수능 직후 통계조사에서 '문제를 맞힌 학생 중' 직관적 단서의 풀이에서 그친 학생이
29번의 경우 90%이상, 30번의 경우 70% 이상이었습니다.
같은 논리로 2014수능 30번에서 그래프를 통해 접선을 그어보고 3개인 구간을 직관적으로 추론해보는 것은 매우 훌륭한 과정입니다. 이러한 직관적인 접근을 의도적으로 막게되면 '수학적 발전'을 아예 이룰 수 없거나 매우 더디게 됩니다. 물론 그 이후 접선의 방정식 y=f'(t)(x-t)+f(t)으로 논리적으로 해볼려고 해야 '직관'과 '논리'를 모두 잡은 확실한 공부라는 것이죠.
마지막으로 다음 문제도 그래프를 통해 [직관적 단서]로 출발하여 [교과서 개념]에 해당하는 '극값의 판정'으로 마무리 지어 보길 바랍니다. 이 문제도 마찬가지로 시험출제 당시에는 90%이상의 학생이 [직관적 단서]의 풀이에 그쳤던 문제입니다. (다시 말하지만 공부할 때 [직관적 단서]에서 끝내면 안 됩니다. 반드시 둘다 해야 합니다.) 이처럼 직관적 단서를 얻으려는 연습을 평소에 해야 수능에서 100점 받을 확률을 극대화 시킬 수 있습니다.
요약하면,
직관과 논리는 서로를 끌어당겨주는 상호보완적인 관계이며, 무엇하나가 반드시 우선시되는 것도 아니며 수학실력 향상에 둘 모두 중요하다는 것입니다. 둘 중 한가지라도 떼어놓고 별개로 생각하는 순간 수학 공부에 대한 효율은 떨어질 수밖에 없을 것입니다. 제가 예시를 든 문제는 모두 직관적 단서를 얻는 과정이 우선시되는 경우가 압도적으로 많은 문항이었고요.
[직관적 풀이] [논리적 풀이]로 싸울게 아니라, 원래 함께 가는 것이라는 거죠. 사실 떼놓고 싶어도 못떼는게 맞죠.
실제로 어려운 문제는 직관과 논리 사이를 오가며 두 능력이 모두 활용되는 경우가 많습니다.
이러한 기본적인 생각은 여러분들이 대학교에 가서 수학을 공부할 때에도 크게 도움이 될 것입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
젠장 루피
-
걍 오늘 안감 0
과탐 20 수학 63 국어 72 받고 멘탈 관리하라는건 말이 안됨 다른 사람들...
-
얼버기 1
오늘도 화이띵
-
상식적으로 탐구 20점 수학 63에서 국어 72에서 1~2등급으로 상승이 가...능함...?
-
그래서 이 말 남기고 오늘은 이만… 얼버기!!!! 오늘 만약 제가 오르비에 또...
-
보통 웬만한 실모 80점대 이상 찍는데 69점 나왔… 근데 우진이가 킬캠 회차중에...
-
고등학생때 메디컬만 바라봤는데 재수하면서 주제 파악하고 올해 연대옴 근데 우리과에서...
-
1. 예쁘고 빠르다. 2. 존나 무겁다. 3. 생각보다 카메라 버튼이 유용하지않다.
-
D-47 0
이제부턴 10시 이후에도 1시까지 스카가서 공부할거임 두고봐 매일 인증할테니까
-
안자는 사람 2
있나
-
있음? 아니면 그에 준하는 정도라도 (강k17회차 많이 얘기하던데
-
랭 돌리는중 ㅁㅌㅊ?
-
73 떴는데 3인가요
-
배고프다 14
쥐엔쟝
-
참고로 수학 3임
-
대치갈일 있어서 추천부탁드려요 ㅅㅅ
-
숨이 턱턱막히네 80점 15 21 22 28 29 11번 오른쪽부터 a b 조건...
-
내가 당첨안되었으니 주작임.
-
재수의 무서운점 3
재수를 하면서 느낀점이 일단 사람이 부정적으로 변해요 원래는 학창시절에 매일웃고...
-
평소에 원점수 96 100 나오는 분들이겠죠.. 존경합니다 그냥..
-
택시 3만원으로 모고 보러 가는 게 의미가 잇을까요 7
낼 송파 메가로 수모의고사 보러 가는데 택시비가 3만원이거든요 이 돈으로 그냥...
-
빌드업+기어시 2회독 드리블 진도(의외로 금방함) 하프타임 모의고사 수특 10월...
-
일과 끝내고 침대에 누워서 오르비 킬 때
-
협곡에서도 이거 반만하면 되는데…
-
문해전 2회독 후에 드릴5 수2 미분 유기한거 끝내고 바로 설맞이 들어가면...
-
한지-이기상쌤 이만복(이것이 만점 복습노트다) 그냥 통암기하고 위치다 하면 일단 2는 뜰까요?
-
이 문제가 기출학습 열심히 했으면 쉽게 풀리는 문제라고들하지만 ebs기준 정답률...
-
제발공부해 제발 0
시험끝나고놀아도돼 제발 제발공부해줘 제발
-
시간이 빠르구나
-
적도 용승은 항시적으로 일어나나요? 연안 용승같은건 풍향에 따라 달라지는 걸로 알고...
-
과탐 몇점씩 나와야 인설의 가능함? 47 44까진 되려나
-
잠에 들려다 무서워서 깼는데 갑자기 귀에서 환청 들리고(이거 소리가 점점 커지는데...
-
ㅋ
-
퀄리티 자체나 시험지 분위기가 대체로 교육청이 수능이랑 더 유사한가요?
-
국어 공부방향 1
수능때 적어도 2등급은 받고싶은데 시간이 너무 모자라요 ㅠ 일단 독서론 포함 비문학...
-
Yes~?? Whatever TV~???♂️ That TV~???♀️ Anmul...
-
남자들 책임도 없다고는 할 수 없다 남자들도 단합 좀 해야됨 스윗남들과 별개로...
-
어떤 편이었나여?? 작년 수능보다 어려운건 아니앗죠??
-
방금 컴퓨터 끄려고 했는데 거의 손가락 절반 정도 되는 모기가 내 눈앞을 지나감 밤새워야지
-
토탈리콜이랑 실모랑 병행할 수능 전에 마지막으로 다 풀고 갈 마무리 n제 추천...
-
아 2
A
-
수2<~joat 7
ㄹㅇ개노잼과목
-
김승리라는 이름도 흔치않은데 국어 가르치는것도 신기하네 오히려 저분이 먼저 시작하셨을라나ㅋㅋ
-
외롭네요 1
고3 현역인데 일반고다녀서 그런지 그래도 나아가겠습니다
-
투표해주시면 감사하겠씁니다
-
서강대 축제 끗 2
재밌었다
-
와 그래도 많이 발전했구나 나... 좀만 더해보자
-
수직주내용이 쉬4맞는게 목표인사람한테도 도움이 될까요
-
물론 수업마다 다르겠지만 딴거푸는사람, 자는사람, 폰보는 사람들 좀 있어요?
대장님 ㄷㄷㄷ
난만한님 정오표 1페이지에서
해설 24쪽 미적분2(미분법)
n =2 ,3 n = 2,3,4고치라는거 어딨는건가요 아무리 봐도없는데
21쪽 03번 해설의 밑에서 6번째줄인듯합니다
아 미적분2 지로삼에있는거였네요 감사합니다.
좋아요
직관적으로 해원님 턱은 미분 불가능한데 논리적으로도 그런 것 같습니다
ㅜㅜ
하지만 인석 리의 책과 함께라면...
선형대수와 군!?
EX04 문제는 어디 문제인가요? 문과도 풀 수 있을 거 같은데 저런 기출 본 기억이 없네요
보면 2014수능 변형이라 적혀있습니다!
결국 어느문제를 푼다면 직관적풀이도 해보고 논리적풀이도 해보는 과정에서 수학실력이 는다는 말이군요.
그 2개가 따로가는게 아니라 함께간다는 것이죠
풀이과정에서 직관과 논리를 오가며 서로 보완적이라는 것입니다.
두 능력 모두 필요하니 한쪽만을 고집하면 결국은 손해라는 말이기도 하구요.
직관을 발전시키는 방법도 있으려나요
직관이 떠올리지 않을땐 어떻게 해야하나 항상 공부할때 무섭습니다 ㅋㅋ
직관적 이해를 항상 시도하고 노력해야죠. 마찬가지로 논리적 풀이를 마무리 지으려고 항상 노력해야합니다. 두 시도가 모두 직관력을 향상시키는데 도움이 될 것입니다.
시도라..! 그렇군요
[교과서 지도서]에 있는 설명을 보면
'직관적으로 말하여 보게 한다'입니다.
이를 문제에 적용하면
'어떤 값으로 수렴할지 그래프를 통해 직관적으로 말하여 본다.'
정도겠죠. 하지만 그것은 느낌일 뿐이니 반드시 논리적 확인을 거쳐야 합니다.
직관이 폰 노이만급이 되려면 어떻게 하나요?
라마누잔 폰노이만 이런 사람급은 태어나지 않는 이상 불가능하다고 보는게 맞죠..... ㅋㅋㅋ
한완수에서 가장 내적 갈등 일으키는 말
"위의 문제를 반드시 먼저 풀어보고 글을 보도록 합시다."
ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ
작년 오완수구매자인데 2017 수능분석 자료 받을수잇나요?
결혼축하드려요 ^^*
? 난만한님 결혼하세요?
백번 공감합니다.
제가 운영했던 학원간판 밑에 '논리와 직관' 이라는 슬로건을 적어두었던 기억이 나네요. (아무도 관심이 없었지만...)
저 진짜이거 '직관' 이라는거 현우진쌤이
강조해주신 이후에 수학성적 계속상승중이에요 백번공감합니다
글읽다가 논리적풀이 직관적풀이하면 딱떠오른게 문제가 글 중간에있는
30번? 바로그접선문제였는데 소름돋아허요...
그 와중에 대수학이라니..! (고통)
이걸 다 푸는 사람들은 확실히 수능에선 고수에 준하는 부류인듯
3등급은 웁니다 쾅쾅코아
대수학도 좋지만...전 제 닉넴쪽 분야가 더..ㅎㅎ
루딘..