고난이도 문제 (1d)
냉무
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막줄 감사합니다
설의님들 어디 계시나요.
엥 이거 어디서 많이 봤다 싶었는데 -_-
열심히 한글로 수식 쳐서 독동에 올렸는데 씹혔던 그 문제 군요 -_-
2번 : http://orbi.kr/000948597
1번 : http://orbi.kr/000948596
... 오르비에 머무는시간이 짧다보니
체크를 못했나봅니다..
1, 2번 모두 정답입니다.
저 .. 1번에 넓이 구한거 어떻게 하신거에요 ?
아 왼쪽부터 차례로
P0P1P2 = OP0P1 + OP1P2 - OP0P2 를 구한겁니다.
(1) a = tant 로 치환하면, 주어진 변환은 t 라디안만큼 반시계방향으로 회전시키고 원점으로부터의 거리를 cost 배하는 일차변환이 됩니다. 이제 삼각형 P0P1P2 의 넓이 S를 t에 대한 식으로 적으면, 사선식으로부터
S(t) = cost sin³t / 2
임을 쉽게 알 수 있습니다. 이제 S'(t) = 0 을 풀면 a = tant = √3, 즉 t = π/3 을 얻고, 이 때의 넓이는 S0 := S(π/3) = (3√3)/32 입니다.
(2) 닮음에 의해, 첫 번째 삼각형과 두 번째 삼각형 사이에서의 관계만 유추해도 충분합니다.
직선 P0P2와 P1P3 의 교점을 Q라고 합시다. 그러면 조잡한(?) 계산을 통해 Q는 P0P2를 6:1 로 내분하는 점임을 알 수 있습니다. 따라서 P0P1Q의 넓이는 P0P1P2의 넓이의 6/7 인 (9√3)/112 입니다.
그러면 문제의 영역은 P0P1Q 와 넓이비가 1, 1/4, (1/4)^2, (1/4)^3, ... 인 삼각형들의 합집합이며, 어느 두 삼각형도 내부가 겹치지 않습니다. 따라서 답은
(1 + 1/4 + 1/16 + ...)(9√3)/112 = (3√3)/28
입니다.
(3) 그래봤자 늦은 풀이 -_-;;