수리굇수님들아 이문제좀 도와주세요
수열[an]을 다음과같이 정의할때, 모든 n에 대하여 an>2임을 수학적 귀납법을 이용하여 보이고, an+1 -2<1/2(an -2)가
성립함을 설명하시오.
a1=3, an+1=1/2(an+ 4/an)
일반항조차 못구하겟네요..
수리굇수님들 알려주세요
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못알아 보겟어요.......ㅠ
1/2(an+4/an)에서 an+4가 a의n+4인가요 an + 4인가요?
an +4/an이요.. 분수임
an + 4/an 이란말이네요 ㅋ 띄어쓰기라도 해주셔야 알아볼듯 ㄷㄷ ㅋㅋ
아 그렇네요 ㅋㅋㅋ
못알아보실수있겟어요
푸는방법좀 알려주세요 ㅎㅎ;
지금 폰이라 잠시만요 ㅋㅋ 곧 풀이 올려드릴게요 ㅋㅋㅋ
감사합니다 비밀글로부탁드려요 ㅋ;
a1=3 이고 an+1 = an/2 + 2/an 이므로 a2=13/6 이됩니다
이걸 차례대로 대입해보면 an>0이란 사실을 알 수 있죠 (양수 + 양수 = 양수)
그럼 산술-기하평균에서 an+1 = an/2 + 2/an ≥ 2 임을 알 수 있습니다 따라서 an > 2 가 나오죠
그리고 an+1 -2<1/2(an -2) 에서 an+1 = an/2 + 2/an 을 대입하면
an/2 + 2/an -2 < an/2 -1 이 되고 이를 다시 전개하면 an>2가 됩니다 이는 처음 전제와 같죠
풀이가 확실한지는 모르겠지만 대충 답은 나오네요 ㅋ
그렇게푸는거맞는거같아요 ㅋ
그럼 하나만 더물어볼게요
그문제에 lim an은 어떻게구하죠 ㅎ;
an+1 = an = x 로 두고 주어진 점화식을 방적식으로 바꾸셔서 푸시면 답 나와요 ㅋ (편법이지만)
그럼 수렴하는 값은 x=±2가 나오는데 주어진 식에서 an>2라고 했으므로 수렴하는값은 2가 나오겠네요
감사합니다 ㅎㅎ
넹넹 ㅋㅋ
수리괴수는 아니지만 한번 풀어봣는데요.. n=1 일때 a1>2 이므로 성립합니다. n=k일때 ak>2 이라 가정해봅시다. ak가 양수이고 정의에 의하여 ak+1=1/2(ak+4/ak) 인데 우변에서 산술기하에 의해 좌변 ak+1 > 2 이므로 수학적귀납벌을 통해 모든 n에 대하여 an>2 임을 증명햇네요.
an+1=1/2(an+4/an) 에서 양변을 -2 하고 정리해보면 an+1-2=1/2 (an-2)(an-2)/an 이고 즉 an+1-2 = 1/2(1-2/an)(an-2) 로 표현할수 잇어요. 이때 모든 n에 대하여 an>2 이므로 0 < (1-2/an) < 1 입니다.
즉 an+1-2=1/2(1-2/an)(an-2)에서 0< (1-2/an)< 1 이므로 an+1-2 < 1/2(an-2) 가 성립하네요.
오랜만에 풀어보는거라.. 혹시 틀린거 잇으면 알려주세요 ㅠㅠ;
틀린거없으신거같아요 완변한데요 ㅋ
하나만 더 질문할게요
lim(n은무한으로)an을 방금제가물어본 문제의 결과를 이용하여 구하는거예요. ㄷㄷ
0 < an+1-2 < 1/2 (an-2) < ... < (1/2)n승 × (a1-2) 에서 n을 무한대로보내면 위 부등식에서 맨왼쪽항과 맨오른쪽항이 0으로 수렴하므로 샌드위치정리(?)에 의해 an+1-2도 0으로수렴하고 an+1, 즉 an은 2로 수렴하네요
님하야 이거 학원 논술숙제자나여 ㅋ
네ㅠㅠ 문제보고 30분넘게고민하다가 모르겠어서 질문했어요 ..
헐 논술문제시면 저처럼 푸시면 안되요 ㄷㄷ
편법이 들어가있어서;;;;; 우선 귀납적방법도 아니구요 ㅜ
그래도 방법은알았으니 더고민해보고 풀어볼게요 ㅎ
이거 옆에 지문보고 그지문바탕으로 쓰셔야할텐데,,
근데 이거 lim(n무한대) an 답은뭔가요?
서메다니시는 동지분 하이여답은2요
맞았넹ㅋㅋ
an-2를 bn으로 하고 뭐어케어케서술은했는데
결국엔 답구할때는 귀찮아서 알파설정해서 방정식 계산해버렸어요ㅋㅋ
뭐야 이거 서메 논술 문제 숙제 아님?ㅋㅋㅋㅋ
논제1번의 2가지질문 모두 수학적귀납법을 활용하면 쉽게 풀립니다.
그리고 일반항 구해서 극한값 구하는문제가아니라 제시문(다)에 의하면 극한과 부등식-> 샌드위치 정리를 활용하는것이 맞을거에요.
논제1번의 a(n+1)-2<1/2(an-2) 을 활용하여 샌드위치 만들면 된답니다.
lim an =d 라 설정하고 방정식풀면 0점일겁니다;
an이 수렴하는지 발산하는지 모르는상태에서 그렇게 수렴한다고 정해버리면;
bn을 설정하고 샌드위치정리에 의해 lim an이 수렴한다는것을 먼저 서술하였고
그후 방정식으로 풀었어요;;