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하루종일행복하게 [109323] · MS 2005 · 쪽지

2012-06-02 23:13:00
조회수 555

비슷한 질문을 다시 올립니다. 133g님과 응용통계13님 봐주세요

게시글 주소: https://profile.orbi.kr/0002913133



이 두 명제는 거짓입니다.

사실 아까 그 명제는 참이라고 생각하는데, 제 풀이가 맞는 건지 궁금해서 올려본건데 풀이 써서 명쾌하게 풀어주실 분 없으신가요

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하루종일행복하게 [109323]

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/02 23:14 · MS 2005

    그리고 댓글에서 f(x)가 연속이든 불연속이든 상관 없다고 하셨는데, 만약 불연속인 경우 문제에서의 극한값은 정의될 수 있지만, f'(a)를 정의할 수 없게되므로 거짓입니다...

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  • BOGUS_ · 371882 · 12/06/02 23:22 · MS 2011

    윗,밑명제둘다 참인거같은데 어째서 거짓이 되는것이죠?
    증명해주실분 안계시나요?

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/02 23:24 · MS 2005

    아래 명제는 거짓이에요 f(x)가 a에서 미분불가능하더라도 주어진 극한식의 값 알파는 좌미분계수와 우미분계수의 중간값을 갖습니다 한마디로 첨점인 경우에도 (미분계수가 존재 하지 않더라도) 저 극한값이 존재할 수 있다는 말이죠

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/02 23:25 · MS 2005

    위 명제는 h가 제곱꼴이니까 우미분계수만을 고려했다는 점에서 미분계수가 될 수 없는거구요

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  • 카라멜팝콘 · 391014 · 12/06/02 23:25 · MS 2011

    두 경우 모두 반례로서 f(x)=|x|, a=0인 경우를 들 수 있습니다.

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  • BOGUS_ · 371882 · 12/06/02 23:28 · MS 2011

    반례가 쉽게 나오네요..

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  • spjj · 382483 · 12/06/02 23:24 · MS 2011

    그냥 평균변화율 극한이 항상 미분계수는 아니다라고 보면안되나요?

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/02 23:26 · MS 2005

    유사평균변화율의 극한이 미분계수가 되는 경우도 올려드릴까요?

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  • spjj · 382483 · 12/06/02 23:33 · MS 2011

    항상 옳지 않으니깐 명제가 거짓이라는 뜻인데요..

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/02 23:35 · MS 2005

    평균변화율의 극한이라고 뭉뚱그려 나오는게 아니라 여러가지 형태로 나오니까 구분해서 알아두어야 해요
    여러번 기출 됐으므로 소홀히 할 수 없는 부분이구요

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  • spjj · 382483 · 12/06/02 23:36 · MS 2011

    a에서 미분가능할때만 참인걸로 알고있어요

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/02 23:39 · MS 2005

    a에서 미분가능한지 미분불가능인지가 논점입니다만 ..-.-;
    그리고 연속 조건만 가지고도 유사평균변화율 형태의 극한값을 미분계수값과 연결시킬 수 있을때가 있습니다.
    아래 문제에서 {f(a+h) - f(a-h)} / 2h 를 {f(a+2h) - f(a-h)} / 3h 로 바꿀 경우 그 극한값은 미분가능 조건이 없더라도 연속 조건 만으로 f'(a) 임을 이끌어 낼 수 있습니다..

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  • 카라멜팝콘 · 391014 · 12/06/03 00:01 · MS 2011

    {f(a+2h) - f(a-h)} / 3h 인 경우 증명은 입실론 델타로 하나요?

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/03 00:11 · MS 2005

    양쪽이 비대칭적인 경우 그냥 귀류법만으로도 증명할 수 있긴해요
    미분불가능한 첨점임을 가정하면 좌극한값과 우극한값이 같지 않는 모순이 발생해서 극한값이 존재하지 않는다는 모순이 생겨요

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  • Apatheia. · 370157 · 12/06/02 23:45 · MS 2011

    밑 댓글들 보고 놀랐네요,. 기출만 봐도 저게 틀린 건 자명하게 알고 계셔야 하는데, 문과라고 꼭 가형 기출 보지 않으시지 마세요. 충분히 좋은 내용을 얻을 수 있어요....... 가형에도 저런 거 한번 나왔다가 다들 3점짜리에 로피탈 쓰고

    맞ㅋ네ㅋ 하다가 피눈물 흘렸죠

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/03 00:01 · MS 2005

    밑의 문제는 저는 참이라고 생각하는데 어떻게 거짓으로 판단하셨는지 가르쳐주시면 감사하겠습니다..ㅠㅠ
    명확하게 증명하기가 어렵네요

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  • Apatheia. · 370157 · 12/06/03 00:23 · MS 2011

    밑 문제는 y축 대칭함수 떠올려 보잖아요? 그럼 lxl만 생각해봐도 미분가능하다고 할 수 없지요 .

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  • Apatheia. · 370157 · 12/06/03 00:28 · MS 2011

    아 물론 y축 대칭함수 떠올리기 전에 a=0 이라고 가정해도 좋구요. 그냥 a에서 대칭이라고 하고 보여도 상관은없겠네요

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/03 00:45 · MS 2005

    lxl 의 경우 반례로 적절하지 않은데요..
    문제의 조건에서는 ​lim {h->0} {f(a+2h)-f(a+h)} / h 의 극한값이 알파로서 존재한다는 걸 전제로 풀어나가는 거고 lxl는 해당 x=0 에서 해당 극한값이 존재하지가 않으니 논의의 대상이 아니죠...
    a에서 대칭이라는 말은 x=a 에서 좌미분계수와 우미분계수가 다른 경우를 말하시는 거 같은데, 그 조건에서 해당 극한식의 값이 존재하는 경우를 반례로 들어주시면....
    전 아직도 참이라고 생각하고 있지만 마땅한 증명법을 못찾고있어서..

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  • Apatheia. · 370157 · 12/06/03 17:03 · MS 2011

    x=0에서 lxl가 왜 해당 극한값이 없나요....... 명백히 있잖아요 . 우극한 +0, 좌극한 -0 . -> 극한값은 0으로 수렴하는데요.

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/03 17:31 · MS 2005

    일일히 풀어드려야하나요
    lim {h->0} {f(a+2h)-f(a+h)} / h = lim {h->0} { l2hl -lhl } / h
    (i) 우극한 lim {h->+0} {2h-h} / h = lim {h->+0} h / h = 1
    (ii) 좌극한 lim {h->-0} {-2h+h} / h = lim {h->-0} -h / h = -1
    따라서 극한값이 존재 하지 않아요

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/03 17:51 · MS 2005

    서정원 샘 강의 뒤져본 결과 연속이라는 조건하에서 미분계수로 연결 시킬 수 없는 평균변화율은
    위의 "좌미분계수나 우미분계수만을 의미하는 경우"와 "대칭적인 평균변화율" 밖에 없다고 하시네요.
    이것으로 미루어 보아 밑의 명제는 참으로 보이는데,
    지금 질문 올려놨으니 답변 달리는 대로 댓글로 옮겨볼게요ㅠㅠ

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  • Apatheia. · 370157 · 12/06/03 21:42 · MS 2011

    아 그러네요... 내일 학원 선생님께 여쭤보고 답변 올려드릴께요..

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  • 응용통계13 · 408083 · 12/06/03 00:58
    회원에 의해 삭제된 댓글입니다.
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  • 응용통계13 · 408083 · 12/06/03 01:02

    모바일이라 길게 댓글을 달 상황은 아닌데 밑에 제가 생각한 사고방식이 틀렸다는 건가요?? ㅠㅠㅠ

    에이고...죄송합니다...ㅠㅠㅠㅠ

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  • 하루종일행복하게 · 109323 · 12/06/03 01:16 · MS 2005

    네 님 댓글대로 주어진 식을 '정리' 할 수가 없습니다. 그런식으로 극한의 기본정리를 사용하려면 각각이 수렴한다는 조건이 있어야 하는데 그것자체가 미분가능성을 전제로 하는거기 때문에 사용할 수 없습니다. 미분가능인지 미분불가능인지가 논점인데, 미분가능으로 전제하고 풀어버리면 당연히 풀리죠ㅋㅋ
    지금 주목해야할 것은 미분불가능한 점에서 알파가 존재하는게 가능한 것인가 입니다.

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  • 연대응용통계 · 377101 · 12/06/03 01:22

    그렇군요....내일 다시한번 봐야겠네요....좋은 지식 얻어가네요 ㅋㅋ ㅠㅠ

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