까불이 [387705] · MS 2011 · 쪽지

2012-06-09 00:51:38
조회수 635

고1 문제 도저히 모르겟네요ㅜㅜ

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양수 a,b,c

a + b + c = 2 일 때

( a + 1/a )^2 + ( b + 1/b )^2 + ( c + 1/c )^2 의 최솟값을 구하시오

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  • 진리 사랑 · 409251 · 12/06/09 01:29

    (준식) = (a^2 + b^2 + c^2) + (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) + 3*2에서
    코시슈바르츠부등식에의해(a^2 + b^2 + c^2)*(1^2 + 1^2 + 1^2) ≥ (a*1 + b*1 + c*1)^2 (단, 등호는 a*1=b*1=c*1일 때 성립)
    마찬가지방법으로(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)*3 ≥ (1/a+1/b+1/c)^2 (등호는 1/a=1/b=1/c일때 성립. 즉, a=b=c일때 성립)
    결국 a=b=c일 때
    최소값으로 {(a+b+c)^2}/3 + {(1/a+1/b+1/c)^2}/3 +6의 값을 갖음
    (준식) ≥ (2^2)/3 + {(3/2+3/2+3/2)^2}/3 + 6 = 169/12