(A+E)(A+2E)(A+3E) = O 일 때

참

참
이차식 만족하는 행렬이 하나밖에 없어서 그런거 아닌감..

조금 자세히 적어 보실 수 있나요?

잘 모르겠네요. 참일 거 같습니다. 셋 중 하나의 디터미넌트인가? 그게 0이여야 하므로 참이 될 거 같아요.. 아닌가요?

셋 중의 하나의 determinant가 0일 때 셋 중 적어도 하나가 O가 되는 이유가 무엇인가요?

아 오개념이였네요. 감사합니다 이런 글 올려주셔서 ㅠㅠ
D(0)D(0)이 반드시 영행렬이 나오는 것이 아닌데....

참 아님?
일단 셋다 역행렬 존재 안하는 경우 뒤의 세 결론 모두 성립하고
셋중하나만 역행렬 존재하면 적어도 셋중 하나는 성립하는거니까 해당되고
두개 역행렬 존재하고 하나가 0행렬이면 적어도 셋중 하나는 성립하고
셋다 역행렬 존재하는 경우는 있을수 없고

A+E, A+2E, A+3E 모두 역행렬이 존재하지 않을 때 결론이 성립하는 이유가 무엇인가요?

A+aE, A+bE둘다 역행렬 존재안하면
두개 곱하면 0행렬이 된다는 명제를 본적이 있음

참. A+kE 꼴의 행렬중 역행렬이 존재하지 않는 행렬은 최대 2개까지 존재합니다. 성분으로 잡아서 ad-bc를 해보면 k에 관한 2차식이 나오므로...

따라서 곱해져있는 세개중 하나는 적어도 역행렬이 존재하고, 위에 주어진 식은 교환법칙이 성립하기 때문에 역행렬을 양변에 곱하면 오른쪽과 같은 결론이 됩니다.

참.
증명) (A+E)(A+2E)(A+3E) = O 일 때 (A+E)(A+2E) = O 또는 (A+2E)(A+3E) = O 또는 (A+3E)(A+E) = O이다.

일단 중간에 사용할 소증명부터

(A+E)(A+2E)(A+3E) = O 이면 (A+E) (A+2E) (A+3E) 셋중에 적어도 하나는 영행렬이 존재하지않습니다.

(소증명 귀류법: 셋다 역행렬이 존재한다면 E=0 이되어 모순 . 따라서 셋중에 적어도 하나는 영행렬이 존재하지않습니다.)

그럼 첫째 ,
역행렬이 존재하지 않는것이 셋중에 하나만 이라면 나머지 둘은 역행렬이 존재하므로

예를들어 (A+E)는 역행렬이 존재하지 않고 (A+2E)(A+3E) 는 역행렬이 존재한다면

역행렬을 각각 곱해주면 A+E = 0

조건에 만족

마찬가지로 하면 A+2E=0 일때와 A+3E=0 인경우도 나오므로 조건에 만족

두번째 역행렬이 존재하지 않는것이 셋중 둘이라면

예를 들어 (A+E) 와 (A+2E) 은 역행렬이 없고 (A+3E) 은 역행렬이 있다면

양변에 역행렬을 곱해서 (A+E)(A+2E) = O 조건에 만족

나머지 다른경우도 마찬가지 방법으로 만족

마지막 (A+E)(A+2E)(A+3E) 셋다 역행렬이 없다면???

하지만 이런경우는 존재하지 않습니다. 이것은 이차방정식의 이론으로 증명할수있는데

귀차니즘으로 생략 (이차방정식의 서로다른근은 최대 2개 까지만 가능하다는것으로 증명가능)


그러하면 어떤경우던지 항상 만족


증명끝

그리고 이 방법 말고도 다른방법이 있으나

고딩과정 에서 배운 내용으로 하는 증명중 가장 하찮?(하찮다기보단 단순하고 기본적인 내용)

은 내용으로만 증명을 해보았습니다.

박승동 선생님 께서 말씀 하시길 수학공부는 기본개념의 심화와 응용!
정말 기본개념에 충실한 학생들보면 어려운 문제도 결국 스스로 고민해서
학원에서 가르쳐주는 특별한 정리나 공식 , 고등수준 초월한 과정 없이도
결국 풀어내더군요. 항상 기본개념을 제대로이해하고 응용할 방법을 연구하는것이 가장 중요한것 같습니다.

님좀짱!

참.

A+E가 역행렬이 존재하면 (A+2E)(A+3E)=0, A+3E가 역행렬이 존재하면 (A+E)(A+2E)=0,
A+E, A+3E 둘다 역행렬이 존재하지 않는다면 (A+E)(A+3E)=0 이지 않나요?

둘째 줄에서 저도 그 이차식 그건 스킵ㅋ 위에랑 같은 말이네여

무조건참이죠 세항의곱으로된영인자는 존재하지않으니깐요ㅎ 각각독립항이0행렬이거나 두인접한행렬 이영인자인경우 이게끝이니깐ㅋ

참임. 이거 수학시간에 배웠는데. ㅋㅋㅋ증명까지