수학덕후용 / 미분가능성과 도함수의 연속성 사이의 관계
이번 글은다음 링크에 게시된 질문을 보고 작성하게 되었습니다.
http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=3073848#c_3078455
저 역시도 수능을 공부하던 시절 미분에 대한 이해가 점차 깊어지면서 어느 순간 이 문제를 가지고 심각하게 고민한 적이 있었고요. 이 문제를 제대로 이해하면서 수학실력이 한 단계 성장할 수 있었던 거 같습니다.
수학멘토로 활동하면서도 잊을만하면 한 번씩 이 질문을 받는 것을 보면, 이 성장통을 겪는 것이 오직 저뿐만인 것은 아닌 것 같아요. 이참에 아예 FAQ로 정리해놓으면 편리하겠다 싶어서 간단히 글을 두드려보았습니다. 모쪼록 많은 학생들의 시행착오를 줄여줄 수 있길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
오지훈 지구과학1 필기노트 23 24 차이 별로 없나요? 2
올해 내신 대비할때 23꺼 사도 될까요?
-
솔텍에서 어떤 점이 좋은가요?
-
지구 Oz모의 계속 잘봐서 자만하게 되는데 살려주세요 6
6모 40 9모 47 9모 이후 유자분 oz실전문제 파다지 까지 완강…(수학, 생명...
-
6평 65점에서 9모 80점으로 올렸는데 앞으로 수학 공부를 어떻게 해야할지 감이...
-
허수 학생 만들어서 한숨쉬며 걱정하시는 게 넘 웃김 ㅋㅋㅋ.ㅋㅋㅋㅋ 겁나 진지하셔서 더 웃김
-
유자분 0
유자분이 n제인가요? 솔텍 막혀서 대용으로 하려하는데 좋을까요?
-
오지훈t 개념 기출 끝내고 6평 쳤는데요. 다음 커리 유자분인데 솔텍이 호평이 좀...
-
현역 때 오지훈쌤 듣다가 너무 지루해서 하반기에 훈식쌤으로 갈아타구 거하게...
-
Oz 시즌 4 0
30점나초중반 나오는데 이게 정상인가요? 풀때마다 자괴감 드는데
-
개텍>기텍 이제 마친 최저러인데 다음 커리 수특수완>솔텍>N제로 갈까요?? 3과목만 공부해용
-
지구황분들... 0
오지 개념 기출 유자분 까지 다 했는데 9평 3등급뜰것같아요...6평때는 높2였는데...
-
그냥 멍한 상태로 지구 실모 끄적거리면 점수가 ㅈ망하는데 원래 이런가요...?...
-
배기범 필수본, 오지훈 OZ개념 1년마다 바뀌나요? 1
친구가 반수 GG친다면서 2023 필수본이랑 오지훈 개념 새 책을 저한테 줬는데...
-
현 고2, 고3때 오지훈 개념완성+기출분석 듣고, 개학하고 솔텍1,2하고 식센...
-
지구황들 와보셈 4
오지 개념기출 했는데 유자분이 좋을까? 솔텍이 좋을까? 고민되네...
-
솔텍 이번주부터 시작이라 다원 등록했는데 다원이랑 두각이랑 현강 과제, 자료 다 똑같나요???
-
지구 현강 추천 1
지구 현강 추천 투표로로 오지훈 매직 개념완성 현강 완강하고 다른 쌤으로 옮기려고...
-
지구 쌩 노베인데 oz 필수입문 건너뛰어도 괜찮나요? 5
필수입문 책 페이지는 적은데 설명이 길어서 효율이 떨어지는 느낌인데 건너뛰고...
-
개념완성 강좌에 중단원 추가문제 이렇게 있던데 이 문제들 기출에 있는 문제들인건가요?
-
교재는 구매 안할 예정임. 개념강의만 좀 들으려고 하는데 두개 다 하려니 가격이...
-
뭐가 더 나을까요?
-
고2고 이번 9모 잘 보고 싶은데 개념강의 다 들을 자신이 없어서 필기노트만 달달...
-
제가 4월 중순에 지구과학 공부를 시작했고, 기출도 동시에 돌리면서 공부했는데,...
-
문제 풀고 강의도 듣기에는 너무 시간이 벅찰 것 같은데 강의 꼭 들어야 하나요??
-
개념완성에 안나오는 것도 나오고 하나요? 개념 강좌라는데 어떤 강좌인지 모르겠네요
-
오지훈 커리 6
고3이고 짐 매직개념완성 3단원 듣는 중인데 매직기출분석은 병행하는 거야 아님...
-
가격 선제시 해주시면 웬만하면 다 맞춰드릴게요ㅜㅠㅜㅜ
-
매직개념완성 교재 팔아요ㅜㅜ 앞부분 조금 필기되어있어요
-
과탐 범위 변경?? 10
화학1이랑 지학1 기준으로 2021 수능때랑 2022 수능때 범위 추가된거나...
-
시간표 다른 학원 나온 곳 아직 없나요?ㅠㅜ
-
2020 지2 오지훈 개념인강 교재 3권세트(개념교재,기출, 필기노트) 싸게 팝니다...
-
유자분 수강후기 0
지구과학 l은 오지훈 선생님으로 공부합니다.지구과학 l은 고3부터 시작해서 바로...
-
안녕하세요 저는 이투스 무한패스 수강생입니다! 오늘 저의 최애쌤 오지훈선생님을...
-
구매했는데 도움 많이되나요..
-
작년꺼 오지훈모의고사 시즌3,4 답 구매합니다ㅠㅠ 작년 과탐패스구매했었고 올해 프패...
-
지구과학1 오지훈 선생님 ㅊ출강하시는 학원이 대치동에 있는 명인이랑 비전 21 밖에없나요??
-
왜?
-
ㄱ어떻게알수있나요?ㅠㅠ
-
답알려주실수으신가요?ㅠㅠㅠㅠㅠ 친구프패로 샀는데 답을 안알려줘요ㅠㅠㅠ 정품인증?합니다
-
10분 거리서 박종훈샘 지2 강의 열린다고하고 30분거리에 재수단과학원서 오지훈샘...
-
오지훈 파이널 모의고사 1~6회, oz 1~3회 답좀 부탁드립니다 (인증o) 1
불러주시면 수능1등급씩 오르고 원하는 대학 최초합 뜨십니다 부탁드립니다...
-
오지훈 선생님 파이널 답좀 불러주실분 없나요..ㅠㅠ 인증o 0
제가 친구꺼로 모의고사만사서..ㅠㅠ
-
지1 오지훈 모의고사 1회~6회, oz 모의고사 3회까지 답좀 부탁드려요..(인증o) 0
친구 프리패스 아이디로 오지훈 모의고사 샀는데.. 그 친구가 비번을 바꺼버렸네여.....
-
내가 재수를 마음먹고 1월달에 대성에서 반값프패할인을 하길래 질러버렸는데,...
-
화학1에서 지학1으로 바꾸려는데요 (지금 지학1 아무것도 모르는 상태고 개념강의만...
-
오지훈 샘 지구과학 서브노트만 구하려고 하는데 서브노트 어떤가요?...
-
제가 최선묵썜 듣다가 이투스 오지훈 프패 싸게 나와서 갈아탔는데 비천체부분은 확실히...
-
New 2017 MAGIC 개념 완성 이랑 [지구과학Ⅰ] MAGIC 개념 완성...
-
0인가요? 오지훈 BIG5보다 프리패스 사고싶은데.. 만약 BIG5사면 5개 어떤거...
-
하는 냄세가 스카이에듀처럼 이번이 마지막 0원 프리패스!! 이러면서 수능 보기 한달...
수학코스프레할기세,, ㄴㅇㄻㄴㅇㄹ
저도 문제풀다가 혼자서 찾아다니다 증명햤었던개념이네여 ㅎㅎ 미분은가능인데 도한수가불연속!? 그래서 특이한함수가아니면 로피탈을써서 도함수의극한이 도함수의값이라고 가정하고 푸는게 쉬워졌어요
얼마 남지 않은 수능에서 좋은 점수를 받을 역량을 갖춘 학생이네요. 지금 언급한 것처럼 만약 도함수가 연속이라면
(평균값정리를 이용해서) "도함수의 좌극한"과 "왼쪽에서 잡은 접선의 기울기"(좌미분계수)는 같다
는 사실 또한 증명할 수 있습니다. :)
특이한함수가아니면 도함수 극한과 미분계수는 같다는 말씀이신가요 ??
예. 고등학교에서 배우는 99.9%의 함수(다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수)에선 이런 이상한 일이 벌어지지 않습니다. :)
2의 예에서 x가 0이 아닐때는 주어진 값이고 0에서는 함수값을 0으로 주어야 함수가 0 에서연속이고
이때 0에서 미분 가능성을 이야기할 수 있습니다.
옙. 수정했습니다. 감사합니다. XD
제가 공부하다 예전에 궁금했던 내용이네요.
잘 보겠습니다.
제 노력 때문에 누군가가 겪을 시행착오가 줄여준다면 큰 영광이죠. 감사합니다. ㅎ
함수 f (x) 가 x=a에서 미분가능하면 f '(x) x=a에서 도함수의 극한값이 존재한다
맞는 명제 인가요?
틀리지 않을까...요? x=a에서 미분가능하다는 말은 그 점에서만 따지는거지 그 근방의 경향을 알 수 없잖아요??
이번 글을 꼼꼼하게 읽어보시면 질문하신 명제가 거짓인 이유와 구체적인 반례도 확인하실 수 있습니다. XD
죄송하지만 그렇다면 도함수의 연속성이 정의되기 위해선 어떤 가정이 필요한가요??
또 궁금한 점이요 미분계수가 존재한다고해서 그점에서 도함수가 연속이 아니란 것은 알겠어요
그런데 마지막에 불연속점에서 굉장히 지1랄맞게 진동하는 형태가 의미하는것이 매우 헷갈리는데요..
도함수가 불연속이지만 원래함수가 연속일수 있다는 말씀이신가요?? 위에 x^2sin1/x에서는 원래 함수가 x=0에서 정의 되지않아요 그러니 원래 함수자체가 불연속이었던 거죠
소동님 말씀대로 어떤 불연속 함수가 어떤함수의 도함수가 된다면 도함수가 존재하는 함수는 연속함수 일테고 연속하는 함수에서 도함수가 불연속일수 있다는게 이해가 잘 안가네요(x^2sin1/x는 불연속함수로써 그에 대한 예시가 안된다고 생각합니다..)
번거롭게 해드려 죄송합니다..ㅜ
Narcisista'//
"위에 x^2sin1/x에서는 원래 함수가 x=0에서 정의 되지않아요 그러니 원래 함수자체가 불연속이었던 거죠 "
이부분이 틀렸습니다. x=0 에서 정의하기 위해 함수에 x=0 일땐 f(0)=0 이다 라고 따로 정의를 했잖아요
f(x)는 x=0 에서 연속입니다. 그리고 x=0 에서 미분 가능하다는 말자체에도 f(x)가 x=0 에서 연속이라는
의미까지 포함하고 있는것이구요
감사합니다 미처 그부분을 놓쳤네요.
1. 그러면 도함수의 연속성을 정의하기 위해서 필요한 조건은 무엇인가요???
2. 그리고 위에 처럼 x=0에서만 0이라고 정의해주는것과 같이 특별한 조건이 없이 어떤 함수만 놓고 보았을때(ex 단 x=k일때 C이다 or x
1. 도함수가 연속인지 여부는 도함수를 직접 구해서 살펴보면 됩니다. (이 과정이 별로 어렵지 않아요.) 별도의 강력한 판정법은 적어도 제가 아는 범위에선 존재하지 않습니다.
다만 이계도함수가 존재하는 함수라면 도함수가 미분가능하니까, 당연히 도함수는 연속이겠죠. 고등학교에서 다루는 많은 함수(다항함수, 삼각함수, 지수-로그함수)들은 무한번 미분가능한 함수이기 때문에 도함수도 당연히 연속함수입니다.
2-1. 등호를 여러 번 써서 함수의 식을 표현하는 것을 자연스럽지 않다고 생각하시는 것 같은데요. 제가 예로 든 함수는 서로 다른 함수를 허접하게 이어붙인 것이 아니라, 극한값을 함숫값으로 준 아주 "자연스러운" 함수입니다.
2-2. 구간 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능하다는 것과 도함수가 연속이란 것은 별 연관이 없습니다. 아마 앞서 제가 단 댓글 중에 평균값정리를 언급한 것 때문에 이런 추측을 하신 것 같은데요. 주어진 것과 구하는 것을 믹스해서 이해하고 계시네요. 다시 한 번 생각해보세요. :)
본문 그림이 안떠요.. 저만 이러나
대한수학회에서 편찬한 수학백과사전에 수록된 용어를 수학용어가 아니라고 말하는 당신은 대체..
헐...도함수의 사잇값 정리
저런게 있었네요
미분가능하면서 도함수 불연속일때, 불연속인 점에서의 미분계수와 그 주위 도함수의 값이 어떤 관계가 있지 않을까 싶었는데 궁금증이 해결됐어요 감사합니다ㅎㅎ
그런게 궁금한게있는데요 x=a에서 미분가능할때
1.도함수의 a에서의 좌 또는 우극한값 존재
2.도함수의 a에서의 극한값 존재
1.이성립하면 도함수의 극한값과 미분계수가 같나요?
아니면 2까지 성립하면 도함수의 극한값과 미분계수가 같나요?
아니면 둘다 항상성립은 아닌가요?
예를 들어 예시들어주신 함수에서는 x>0일때 f(x)=0이라두면
도함수 우극한값=0
미분계수=0
좌극한진동인데 미분가능하잖아요!
와 대박!!
좋은 자료 감사합니다!