미분 투척 (6,9 중요문제 개념 반영)
제가 스캔이나 따로 어디다 글 적고 그러는 방법을 몰라서요... 여기다 문제 적을게요 ㅠㅠ 학교에서 심심할 때 만든거라.. 따로 종이에 적고 푸시길..
최고차항의 계수가 1이고 역함수가 존재하는 삼차함수 f(x)가 있다. f(x)의 역함수를 g(x)라고 할 때,
h(x) = f(x) (x<-1)
= g(x) (x>=-1) 가 모든 실수에서 미분 가능하며, 임의의 실수 a, b (a<b)에 대해 -2 인테그랄(a~b) h(x) dx < (a-b)*{h(a)+h(b)} 을 만족한다고 할 때, f(2)의 값은?
정답은 드래그!! 29
반응 괜찮으면 한개 더 올릴게요..
댓글에 해설 달아놨으니 스크롤 조심하세요 ㅠㅠ
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아.. 그걸 안썼네요 죄송.. 가형에서 배운 내용을 의도한건데.. 나형은 아마 못 풀듯? ㅠㅠ 그래도 해설 원하시면 여기다 적어드릴게요..
아.. 전 나형 초보자여서 ㅋ 계속 생각해봐도 모르겟던데 나형은 못푸는문제였군여.. 위안삼아 포기하겟습니다 ㅋㅋ
넵..ㅋㅋ 열공하세요
그래도 해설은 달아주시면 감사합니다....20분넘게 쳐다보고있었거든요 ㅋ
댓글 밑에 새로 올릴게요.
변곡점이 들어가는 개념이고 글로만 적은거라 이해하기 힘드실 지도.. 죄송요 ㅠㅠㅠㅠ
f(x)가 (x+1)^3 - 1 아닌가요? 헷갈리네 ㅠㅜ
아니에요.. ㅋㅋㅋ 첫번째 조건에도 맞지 않는 듯
아아 ㅋㅋ ㅈㅅㅈㅅ ㅋ
===== 해설 =====
일단 두번째 적분식은 h(x)가 위로볼록이라는 조건이구요.. (사다리꼴 이용한 식 표현)
h(x)의 미분 가능 조건으로 f(-1)=g(-1)=-1이고, f'(-1)=g'(-1)=1/f'(-1)이므로 f'(-1)=1이란 것을 알 수 있습니다 (f(x)는 역함수가 존재하고 최고차항 계수가 1이므로 f'(x)=-1은 나올 수 없음 즉, f(x)는 전구간 증가함수)
여기서 평면좌표에 y=x그래프를 그리고 f(x)를 (-1,-1)에서 y=x와 접하는 그래프를 여러 개형으로 그릴 수 있습니다. 그 예로, (-1,-1)에서 y=x와 접하고 다시 x>-1에서 y=x와 만나는 경우, x<-1에서 y=x와 만나고 (-1,-1)에서 y=x와 접하는 경우, (-1,-1)이 변곡점이 되어서 f(x)가 y=x에 의해 (-1,-1)에서 뚫리는 경우 (다른 점에서 다시 안만나는 경우)를 생각해볼 수 있는데 첫번째와 두번째 개형은 무조건 f(x)든, g(x)든, x>-1또는 x<-1에서 변곡점이 생기게 됩니다. (f(x)는 삼차함수이므로 (-1,-1)에서 변곡점이 아니라면 무조건 다른 곳에서 변곡점이 있겠죠?) 삼차함수이므로 x=-1이 아닌 곳에서 변곡점이 생기게 되면 그 전,후로 무조건 위로볼록,아래로볼록이 바뀌게 됩니다. 따라서 두번째 조건을 만족하지 못하므로, 그래프의 개형은 무조건 세번째 그래프밖에 나올 수 없으므로 f''(-1)=0이고, f(x)와 (-1,-1)에서의 접선의 방정식을 연립하게 되면 삼중근이 나오게 된다는 것을 이용하여 식을 세우면 f(x)-x=(x+1)^3이 나오므로 f(2)=29가 됩니다.. (f(x)=x^3+ax^2+bx+c 로 두고 f(-1)=-1, f'(-1)=1, f''(-1)=0의 식 3개를 이용하여 a,b,c를 구하는 풀이도 가능합니다)
오 좋은 풀이입니다 ㅋ 처음에 잘못생각해서 ㅋㅋ
감사합니다..ㅋㅋ 열공하세요
아 참고로 f(x)뿐만 아니라 g(x)도 무조건 변곡점이 존재하게 됩니다.. 그냥 삼차함수를 대칭시킨 것 뿐이니까..
위로볼록인 함수는 역함수 취하면 무조건 아래로 볼록한가요~~? 도함수, 이계도함수 다 존재하고.,.
다른 함수는 잘 모르겠는데.. 삼차함수는 직관적으로 알 수 있지 않나요 ㅋㅋ