주멘 모고 1회 8번 이렇게 풀었어요?

안녕하세요, MENTOR 이다희입니다.

오늘은 주예지T X MENTOR 모의평가 1회의 공통 ‘8번’ 문항의 별해에 관해서 이야기해보겠습니다.

8번 문항은 3점짜리 문항으로, 고득점을 목표로 하는 학생들은 가볍게 풀어내야 하는 문제입니다.

‘나는 8번 맞혔으니까 이 칼럼은 안 읽어도 되겠네~’라고요? 과연 그럴까요?

위 문제에서 최고차항의 계수와 극값에 대한 정보를 줬으므로 함수 f(x)의 도함수 f'(x)를 정확히 구할 수 있습니다.

따라서 8번 문항은 도함수 f'(x)를 통해 함수 f(x)를 구하는 문제라고 생각할 수 있습니다. 

이렇게 말이죠!

위의 해설처럼 8번 문제를 풀었어도 틀린 것은 아닙니다. 잘하셨습니다. 

그런데 문제는 f(-3)-f(2), 즉 함수 f(x)의 함숫값의 변화량을 묻고 있네요?? 뭔가 떠오르지 않나요?

여기까지 왔으면 떠올랐어야 합니다!

8번 문항은 함수 f(x)의 함숫값의 변화량 = 도함수 f'(x)의 정적분 값을 이용해서 문제를 푸실 수 있었습니다. 

이것을 이용한 풀이를 보여드리기 전에 왜 함수 f(x)의 함숫값의 변화량 = 도함수 f'(x)의 정적분 값인지 설명해드리겠습니다.

함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, 함수 f(x)의 한 부정적분 F(x)에 대하여

이므로 함수 F(x)의 함숫값의 변화량 = 함수 F(x)의 도함수 f(x)의 정적분 값이라고 볼 수 있습니다.

따라서 해당 구간에서 연속인 함수 f(x)에 대하여

도함수 f'(x)의 정적분의 값은 함수 f(x)의 함숫값의 변화량과 같습니다.

이제 이를 이용하여 공통 8번 문항의 풀이를 보여드리겠습니다. 

문제에 주어진 정보로 함수 f(x)의 도함수가 f'(x)= 3(x+3)(x-2)라는 것을 알 수 있습니다. 

이에 함수 f(x)의 함숫값의 변화량이 도함수 f'(x)의 정적분의 값이라는 것을 통해 

임을 유추해 낼 수 있습니다.

하지만 값을 구하려면 적분하고 대입하고 계산하고....똑같지 않냐고요? 

함수 f(x)가 극값을 갖는 삼차함수이고, 이때 함수 f(x)에 대하여 (극댓값)-(극솟값)>0이므로 

해당 값을 함수 f(x)의 도함수인 f'(x)에서 이차함수의 넓이 공식으로 구할 수 있습니다.

여기서 이차함수의 넓이 공식을 알아야 우리가 문제를 제대로 맛깔나게 풀어냈다고 볼 수 있겠죠! 

이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이는 최고차항의 계수, 이차함수와 직선의 교점의 x좌표만 알면 구할 수 있다는 것, 

다들 알고 계시죠? 그래도 모르시는 분들을 위해 기꺼이 증명해드리겠습니다.

 다시 8번 문항 풀이로 돌아오면 

이고 f'(x)=3(x+3)(x-2) 이므로 이차함수 넓이 공식을 활용하여

로 구해낼 수 있습니다.

직접 풀어보시면 더 잘 아시겠지만 부정적분을 구해 숫자를 대입하고 계산한 방법과 비교해볼 때,

함수 f(x)의 함숫값의 변화량 = 도함수 f'(x)의 정적분의 값 , 이차함수 넓이 공식을 알고 푼 것이

훨씬 모의고사 풀이 시간 절약도 되고 더 맛깔나게 풀어낸 것 같지 않습니까?

이 개념들을 숙지하고 있을지라도, 이를 시험 볼 때 이용해서 푼다는 건은 정말 어렵다는 것을 경험하신 계기가 되셨으면 좋겠습니다. 

추가로 도형의 넓이를 구할 때 사용되는 특수한 공식들을 정리해드리겠습니다.

1) 이차함수와 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 때 

2) 서로 다른 두 이차함수가 서로 다른 두 점에서 만날 때

3)  삼차함수와 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 때 (삼차함수와 접선)

고득점을 목표로 하는 수험생이라면 대학수학능력시험에서 시간은 금이기에 시간 단축에 용이한

넓이 공식들은 필수적으로 외워두고 활용할 줄 알아야 합니다. 

여러분들의 수학 실력 향상을 위해 저희 MENTOR도 열심히 달려보도록 하겠습니다!

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