[박재우T] 안녕하세요
안녕하세요. 박재우T 입니다.
라스합시다 ^^
오늘은 과거에 쓴 글인데 세월이 좀 지나서 도움이 되는 내용이라 다시 한 번 재업을 합니다.
요즘은 기하 문제에서는 어려운 공간도형 문제는 잘 안나오죠 ?
물론 아직 활자화되지 않아서 예상 난이도가 어렵다 안 어렵다 단정지을 수는 없지만
과거보다는 쉬워진 것은 확실합니다.
공간도향 문제에서 정사영이 갖는 여러가지 측면의 솔루션들 중 과거에 썼던 괜찮은 정리를
다시 한번 소개하고자 합니다.
아래 부분은 과거에 올렸던 부분과 동일합니다.
수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는
습관이 매우 중요합니다.
대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.
아닌가요 ?
그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?
특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?
수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.
이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.
비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게
좋은 방법이라고 생각합니다.
먼저 원리하나 소개할께요.
* Cavalieri의 원리 *
같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다.
이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.
각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면
모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?
당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.
이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.
먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요
반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서
위 아래 두 개의 대칭 원뿔을
뺀 도형 두 개를 생각해볼께요
그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.
여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다.
같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로
두 입체의 부피는 같습니다.
오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로
그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.
모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.
이해가 좀 되셨는 지요.
그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라
평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.
단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.
물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.
암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.
물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.
미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요
오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서
아래쪽에 다시 그려 놓았습니다.
이해 되셨나요 ?
왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서
동일한 단면적을 갖습니다.
피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서
직선이 되는 것은 아실겁니다.
그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면
이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.
도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는
것이 강점입니다.
예전에 이런 문제가 나온 적이 있었죠.
기억나시나요 ?
어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^
열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
안하는것이 좋음 만날때마다 최소 3만원 써야하고 장소찾는데 시간쓰이고 상대방도...
-
아 가보자고!!!!
-
도표 난이도 이정도면 적당하게 잘 뽑은듯 다만 개념 문제가 조금 아쉬움... 딱히...
-
분명 외대 전장이실텐데... 오잉
-
입결표 보니까 1
나군에 외대 중국외교통상 썼으면 붙을 수도 있었겠구나 중경외시 라인은 제대로 보지도 않아서 몰랐네
-
댓글 정답 스포 조심~
-
강의는 한달에 16이던데 서바나 강사컨은 가격이 얼마나 드나요?(물1 현정훈t)
-
다른것도 아니고 수학기출을 대부분을 자기가 이해해서풀고 거기다 스킬까지 흡수하면...
-
스카 독재 0
학원독재 다니는게 혼자 스카 독재한 것보다 결과들이 좋은 편 인가요? 주변사람들...
-
서울대 연세대 고려대 성균관대 한양대 서강대 중앙대 시립대 경희대 이화여대 건국대...
-
작수 수학 81이고 (백분위 93인가 찍은 거 없이) 목표는 낮1입니다 뉴분감 수특...
-
수학 실모 풀었을 때 74인가 받고 충격 먹은 적 있음..... 이번 6평 대비...
-
사설 풀때마다 항상 70점대였다가 6모때 전략적으로 풀었더니 90점 맞고 오늘 친...
-
교재 속 지문들을 보니 작년이랑 거의 같은거같은데 강의는 작년과 좀 다른가요?
-
어그로 ㅈㅅ합미다 ,.. 질문 글임미다... 이성 중시랑 이성적 사고 토대가 다른...
-
며칠 잡고 하면 될까? 그리고 3나왔는데 기본하고 실력 중에 뭐할까 빅포텐 s1 풀다가 오열할뻔
-
본인 자칭 존잘러 알파 메일이다 ㅋㅋㅋ
-
성적이 안올라서 고통! 내 등급만 떨어져서 고통! 문제가 안풀려서 고통! 공부가 어려워서 고통!
-
슈1발 2
충전기 부러졌네 이 개같은
-
으하하 당신도 털많은프사를 하십소
-
군수붕이인데 9모부터는 학교에서 대면접수만 받는다고 해서 잇올가야할거같은데 부모님께...
-
법대러라 정시에다가 몰빵박아서 기말고사 끝나고 쉴시간에 한능검이랑 정법 사문...
-
물1 운동방향과 수직인 힘 주면 속력 일정한거 그냥 암기사항이죠? 일단 원리도...
-
07~0830 사이에 끝내신대서 주말 패턴 맞추고왔는데 스카도착하니 조용하다싶어서...
-
비독원 완강하고 처음부터 복습하려는데 본교재에 원픽이랑 피드백만으로 복습해도...
-
안녕하세요! 군수생입니다. 제가 2024 OZ 매직 개념완성을 50% 정도 듣다가...
-
건강 위해 먹었는데 '충격'…"비타민 복용자 사망률 더 높다" 2
[앵커] 매일 종합비타민제를 챙겨 먹는 사람들에게 충격을 주는 연구 결과가 하나...
-
이번에 그림그리고 딴짓하다 안건데 하이라이트를 넣고 안넣고가 그림의 분위기에 많은...
-
ㅅㅌㅊ 아닌가?
-
갓반고 특 1
내신 빼고 대부분 장점임 건물도 좋고 애들도 다른학교에 비하면 수준 높고 연구학교라...
-
가격은 쪽지로 조율합니다
-
다른건 다 이해가도 무한히 뻗은 직선도선 2개에 전류흐를때 서로 밀고 당기는건...
-
남녀 불문 현실에서 인기 어떤 편임?
-
해설강의 필기를 딴 노트에 하는거임. 그러면 문제집엔 담만 체크하거나 표시하고...
-
에라모르겟다 불지르자 마인드....?
-
검정고시생인데 출석점수 평균낸거 보통 얼마정도 받아요?
-
아침밥 2
히히
-
거기서 연애를 잔뜩
-
진짜 싫다고.
-
회로이론 특 0
분명 풀수있는데 이상한걸로 실수함 아오
-
병무청에서 점수계산 돌려봤는데 나머지 가산점 포함하면 95점인데 커트라인 보니까...
-
주말 얼버기 1
-
ㅇㅂㄱ 4
ㅎㅇ!
-
감기걸렸네 1
목 개아파
-
기상 0627 2
-
그래야 돼
-
3~4시에 자면 그냥 피곤하지 않나? 2시 넘어가면 특별한 사유 땜에 뻐팅기는거...
이런 좋은 칼럼 항상 감사드립ㄴㅣ다!