현장에서 뇌절 피하기

안녕하세요, 개코입니다.

이 글의 주제는 '지수함수와 로그함수'입니다.

모의평가 및 수능 직후의 반응을 살펴보면 학생들이 가장 많이 헤매는 문항이 이 단원에 가장 많이 있지 않나 싶습니다.

최근 기조에서는 문항에 접근하는 방식에 따라 계산량이 크게 달라지고, 문제 해결 여부까지 크게 달라지기 때문이라 생각됩니다.

이 글에서는 2022학년도에 출제된 체감 난이도가 높았던 지수함수와 로그함수 문항들에 대한 접근 방식을 잡는 방법을 다뤄볼까 합니다.

접근 방식에 따라 풀이가 크게 달라지는 단원이고 단원별로 정리된 기출문제집이 아닌 시험지에서 만나면 어떤 문항인지 파악하기 어려운 경우가 많기에, 출제자가 의도한 풀이가 무엇일지에 대하여 생각해보아야 합니다. 

평가원은 모의평가나 수능을 출제한 뒤 수능은 전 문항, 모의평가는 일부 문항에 대하여 출제 의도를 교육과정에 근거하여 발표합니다. 이 문서에 어떠한 말이 적혀있을지 생각해보면 풀이의 가닥을 잡기가 수월합니다.

또한, 문제 해결의 실마리가 교과 개념인 만큼, 개념서나 교과서의 내용과 문항의 상황을 대응시켜보는 것도 좋은 방법입니다. 아래는 올해 시행된 모의평가와 수능 문항들에 이를 적용시킨 예입니다.

ex) 2022학년도 6월 모의평가 21번

이 문항을 처음 보았을 때, 21번이 수학2 문항인가? 하는 생각이 먼저 듭니다. 21번 문항은 수학1 문항에서 쓰는 표현이 거의 없었기 때문이죠.

방정식의 실근의 개수를 논하고, 곱의 형태로 방정식이 주어졌다는 점도 눈여겨볼만 합니다.

하지만, 이 문항을 미분 문항이라 보기는 자연수 n의 값이 커짐에 따라 그래프의 개형을 추론하기 어렵고, 보통의 경우에 3, 4차함수의 추론만을 묻는다는 점에서 무리가 있습니다.

x^n-64라는 식을 보면, 교과서나 개념서 어디선가 본 듯한 개념을 대응시킬 수 있습니다.

이 문항은 거듭제곱근에 대한 이해를 묻는 문항이며, (가)로 n의 홀짝성을, (나)로 n의 조건을 찾아내면 문항을 해결할 수 있습니다. 

ex) 2022학년도 수능 13번

주어진 네 점의 좌표과 f(x)의 꼴을 보아, 이 문항은 수학I, 그 중에서도 지수와 로그 문항입니다.

수능 문항인 만큼, 다른 것보다 지수와 로그의 활용에 초점을 맞추어 문제를 해결하도록 출제되었을 것입니다.

주어진 로그의 꼴이 log_2 x와 log_4 x이고, 4는 2의 제곱이므로 두 번째 줄의 두 점의 y좌표는 각각 세 번째 줄의 두 점의 y좌표의 두 배입니다.

x의 값이 같은 값만큼 변할 때 y좌표의 변화가 세 번째 줄의 직선이 두 번째 줄의 직선의 절반이므로 

두 번째 줄의 직선의 방정식을 y=mx+n이라 하면 두 직선의 y좌표가 같으므로 세 번쨰 줄의 직선의 방정식은 y=0.5mx+n입니다.

두 직선의 방정식에 각각 x=a를 대입하면 ma+n=log_2 a, 0.5ma+n= 0.5log_2 a=0.5(ma+n)이므로 n=0이고, 두 직선은 모두 원점을 지납니다.

f(x)는 x에 대한 함수입니다. a와 b는 x에 따라 변하는 실수가 아니므로 f(x)의 꼴을 고치면 f(x)=(a^b)^x +(b^a)^x입니다.

두 번 (a, log_2 a)와 (b, log_2 b)를 지나는 직선이 원점을 지나고 a^b, b^a를 얻고 싶으니 원점과 각 점을 이은 직선의 기울기가 같음을 이용하면

이고, 얻은 정보를 종합하여 정답을 구할 수 있습니다.

평가원에서 발표한 해당 문항의 출제 의도는 다음과 같습니다. 확실히 문항의 풀이 대부분이 로그의 성질을 이용하는 것이었습니다.

ex) 2022학년도 9월 모의평가 21번

해당 문항도 시험 직후 수험생 커뮤니티 등에서 많이 언급된 문항입니다. 해당 문항의 출제 의도는 보시다시피 지수함수과 로그함수를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 것입니다.

문항을 해결하지 못하거나 헤맸던 많은 학생들이 지수함수와 직선의 교점의 좌표를 바로 구하려 했을 것으로 생각됩니다. 

지수, 로그함수와 삼각함수와 같은 초월함수가 포함된 방정식은 수능 응시 대상의 수험생이 해를 구할 수 없으므로 이는 출제자가 의도할 수 없는 풀이입니다.

지수함수과 로그함수에 관하여 교과서에서 강조되는 내용은 1이 아닌 양수 a에 대하여 a^x와 log_a x가 서로 역함수이고, 두 함수의 그래프는 서로 직선 y=x에 대칭이라는 것입니다. (애초에 로그함수를 지수함수의 역함수로 정의합니다.)

이 문항에서, 두 곡선은 각각 y=a^x와 y=log_a x를 x축 방향으로 1만큼 평행이동시킨 것이므로 두 곡선이 직선 y=x-1에 대하여 대칭이고, 

직선 y=-x+4는 직선 y=x-1과 수직이므로 이 직선에 대하여 대칭인 도형입니다. 따라서 두 점 A, B도 직선 y=x-1에 대하여 대칭임을 이끌어낼 수 있습니다.

참고로, 직선 y=x에 대하여 대칭인 도형은 대표적으로 기울기가 -1인 직선, 원이 있습니다.

수능과 모의평가 출제자는 수험생이 풀 수 있는 문제를 교육과정 내에서 만들어야 함을 명심하고 문제를 풉시다. 무엇을 묻고자 하는지를 파악하는 것이 문제 해결의 첫 단계입니다. 

또한, 이러한 사고 방식을 문제 풀이에 적용하기까지는 시간이 조금 걸립니다. 단원별로 정리된 것이 아닌 문제들을 풀 때 이를 생각하는 버릇을 들여 수능 고사장에서 뇌절을 피합시다.