[박수칠] 맞췄든, 틀렸든 이유를 제대로 모르면 정리는 필수입니다.

성적 향상을 원한다면 경계해야 할 것이 몇 가지 있습니다.

그 중에는 ‘자기 실력에 대한 과대 평가’와 ‘실수에 대한 관대함’이 있죠.

자기 실력에 대한 과대 평가-자신이 맞춘 모든 문제를 자신이 안다고 생각하는 것-는

기초부터 차근차근 내실 있게 공부하는 것보다 겉으로 보이는 점수에 집착하게 합니다.

논리에 맞지 않게 풀었더라도, 찍었더라도 맞기만 하면 그 점수를 자신의 실력으로 생각하게 하죠.

(과대 평가와 자신감은 다른 얘깁니다.)

실수에 대한 관대함-이번에 틀린 문제를 다음에는 맞출 수 있다고 생각하는 것-도 문제입니다.

틀렸다면 원인을 파악하고, 그에 맞게 공부하면서 다음에는 틀리지 않게 만들어야 합니다.

하지만 ‘이번엔 실수로 틀린거야’라고 생각하며 그냥 넘어가버린다면 같은 실수를 반복하게 됩니다.

그럼 실수가 아니라 실력이 그 정도라는 것을 인증하는 거죠.

모의고사를 볼 때마다 자신이 맞춘 것, 틀린 것들을 다시 되짚어봐야 합니다.

맞춘 문제들은 과연 내 방법이 최선인지, 옳은 것인지를 확인하고

틀린 문제들은 왜 틀렸는지를 파악해서 꼭 정리해야죠.

여기에 조금이라도 도움이 되도록

실수로 포장될만한 잘못이 나올 수 있는 문제들을 골라 봤습니다.

(1) 잘못된 기호 해석

먼저 다음의 문제부터 살펴봅시다.

이 문제는 지난 3월 학평 수학영역 A형 27번입니다. 

수열의 일반항-수열의 합-수열의 극한이 복합된 문제였는데요,

여기서 극한에 포함된 , 을 잘못 해석한 학생들이 있었습니다.

2n에 너무 집중한 나머지

과 같이 짝수번째 항들의 합으로 해석해버린 것이죠.

하지만 , 에서 , 을 만들기 위해서는

'대입'을 적용해야 합니다. 즉, 주어진 식에 n 대신 2n을 대입해서

으로 봐야 하는 것이죠. 또한 의 계산은 수열 이 등차수열임을 이용해서 

과 같이 하면 됩니다.

비슷한 예를 하나 더 들어볼까요? 다음의 문제를 봅시다.

⓵은 어떤 수열의 합을 정의하는 식입니다.

그래서 수열의 일반항과 합의 관계 를 여기에 어떻게 적용할지 고민하다가

'⓵을 으로 보면 은 좌변에서 끝항 을 지우고, 우변은 n 대신 n-1을 대입한

이다. ⓵에서 이 식을 빼면 일반항이 나올 것이다'라고 생각하면 이 문제는 틀리는 겁니다.

왜냐? ⓵은 자연수 n에 대한 항등식이고 우변에 n 대신 n-1을 대입하면,

좌변에도 똑같이 해줘야 하거든요. 결국 다음과 같은 식이 나타납니다.

그리고 ⓵에서 이 식을 빼주면 다음의 결과가 나타나죠.

결국 주어진 식 은 이 식에 n=10을 대입한 것과 같습니다.

그럼 여기서 중요한 것은 뭐냐?

에서 , 을 만들어내려면 '대입'을 양변에 똑같이 해줘야 한다는 겁니다.

(2) 개념을 잘못 적용한 경우

아래 문제는 2009학년도 9월 모평 수리영역 가형 10번 문제입니다.

(예전에도 한 번 올렸던 문제입니다.)

여기서 잘못 풀기 쉬운 것은 ㄴ입니다. g(x)가 정적분으로 정의되어 있고,

그 정적분의 위끝이 x니까 양변을 x에 대해 미분해서 도함수

   g'(x)=(x-1)f(x)

를 구하고, 여기에 x=1을 대입하면

   g'(1)=0

이 되므로 함수 g(x)는 x=1에서 미분가능하다'라고 생각하는 학생이 있었거든요.

그런데 이 풀이는 관계가 잘못된 겁니다.

함수 g(x)가 x=1에서 미분가능한지/불가능한지 모르는 상태에서

도함수와 미분계수를 계산해버렸거든요.

'함수 f(x)=ln x의 도함수가 f'(x)=1/x이고, f'(-1)=-1이니까 f(x)는 x=-1에서 미분가능하다'

라고 하는 것과 같은 논리인 겁니다. (물론 틀린 얘기구요.)

따라서 정적분을 포함하는 함수의 미분가능성에 대한 조건부터 알아야 합니다.

이 개념에 따라 문제의 함수 (x-1)f(x)는 실수 전체에서 미분가능하기 때문에

함수 g(x)도 x-1에서 미분가능한 것이라는 사실을 명심해야 됩니다.

(3) 유형의 일반화 실패

또 예제부터 살펴봅시다.

이 문제는 2014학년도 수능 수학영역 A형 28번입니다.

두 함수의 곱으로 이루어진 함수가 특정 점에서 연속이기 위한 조건을 묻는 문제죠.

문제를 풀기 위해 함수 f(x)의 그래프부터 그리면 다음과 같습니다.

그래프에서 알 수 있듯이 함수 f(x)는 x=0에서만 불연속이므로

함수 f(x)를 x축 방향으로 a만큼 평행이동시킨 f(x-a)는 x=a에서만 불연속임을 알 수 있죠.

그런데 함수 f(x-a)는 x=a에서

   (좌극한값)=1, (우극한값, 함숫값)=7

이기 때문에 f(x)f(x-a)가 x=a에서 연속이려면 함수 f(a)=0이 되는 수 밖에 없습니다.

따라서 a=-1 또는 14임을 알 수 있죠.

이 유형에서 다음과 같은 사실을 유추해낼 수 있습니다.

특정 점에서 (연속인 함수)x(불연속인 함수)의 연속성에 대한 일반화를 한 것이죠.

그런데 여기서 유의할 것은 x=a에서 불연속인 함수 g(x)가

x=a에서 함숫값, 좌극한값, 우극한값을 모두 가져야한다는 것이죠.

이를 신경쓰지 않으면 다음과 같은 문제를 풀 때 실수를 할 수도 있습니다.

2015학년도 수능특강 미통기 p.28 11번 문제입니다.

함수 g(x)는 연속함수 y=(x-2)^n과 x=2에서만 불연속인 함수 y=f(x)의 곱으로 이루어져 있죠.

여기에 위 일반화를 적용해볼까요?

이렇게 풀면 틀린 겁니다.

왜냐? 함수 f(x)는 x=2에서 우극한값이 존재하지 않거든요.

위 일반화를 적용하기 위해서는 함수 f(x)가 x=2에서 함숫값, 좌극한값, 우극한값을

모두 가져야 하는데 그걸 놓치면 이렇게 틀린 풀이가 나올 수 있습니다.

(일반화했다고 좋아했는데... 안하니만 못한거죠. ㅡㅡ)

이 문제를 제대로 풀기 위해서는 다음과 같이 연속성의 판단의 기본 개념인인

함수가 점에서 연속이기 위한 필요충분조건을 이용해야 합니다.

여기서 주의할 것은 두 가지.

문제를 풀다가 특정 유형들을 공통점을 뽑아 일반화했다면 조건을 명확하게 할 것.

그리고 다른 문제들에 적용해보면서 그 조건이 맞는지 확인해야 한다는 것이죠.

(누군가에게 물어서 검증받는 것도 괜찮은 방법입니다.)

예 때문에 설명이 많이 길어졌네요.

어쨌든 시험을 본 후에 위와 같은 식으로 문제를 틀리거나 어정쩡하게 맞췄다고 합시다.

좀 찝찝하겠죠? 그럼 문제 다시 분석해보고 꼭 정리해야 합니다.

(수능 볼 때는 나 자신을 믿어야 하지만, 평소에는 믿으면 안됩니다.

꼭 정리하세요~)

정리 방식은 본인이 선호하는 방식을 따르면 되구요.

저는 기본서에 접착식 메모지로 정리하는 것을 좋아합니다.

개념 정리와 문제 풀이법의 기준으로 삼은 개념서에 이런 내용들을 단원별로 붙여두면

나중에 복습할 때 다시 찾기 쉬우니까요.

기본서가 두꺼워지는 단점은 있습니다만...

뭐 이 정도 쯤이야 감수해야죠 ^^

내일 또 4월 학평이 있습니다.

지금부터라도 자신에 대한 자만과 관대함은 버리고,

본인의 실력을 정확하게 평가하고 문제점을 찾아내서 개선을 위한 노력을 하시기 바랍니다.