110925(가)를 풀어보자

공간도형 문제입니다.

일단 직선 m 위에, 사각형 BACE가 직사각형이 되도록 점 E를 잡읍시다.

이렇게 하면 직사각형의 성질에 의하여 선분 BE의 길이는 5, 선분 CE의 길이는 2루트2입니다.

또한, 주어진 그림에서 두 직선 BD, BE가 모두 직선 AB와 수직입니다. 여기서, 세 점 B, D, E를 포함하는 평면 위의 모든 직선이 직선 l과 수직입니다.

즉, 직선 DE도 직선 l과 수직입니다.

세 직선 l, m, n이 서로 평행하기 때문에, 직선 DE는 직선 m과 평행하고, 직선 n과도 평행하다는 결론에 도달합니다.

선분 DE가 직선 m에 수직이므로, 삼각형 CDE는 직각삼각형입니다. CD=3이고 CE=2루트2이므로 선분 DE, 즉 두 직선 m, n 사이의 거리는 1입니다.

여기서, 사각형 ECFD가 직사각형이 되도록 직선 n 위에 점 F를 잡읍시다. 그러면 선분 CF의 길이 역시 1입니다.

이때 선분 FD의 길이도 2루트2가 되며, 사각형 BAFD 역시 직사각형이 됩니다. 즉, 선분 AF의 길이는 4루트2입니다.

점 A에서 두 직선 m, n을 포함하는 평면 위에 내린 수선의 발을 H라고 하면 세 점 H, C, F는 한 직선 위에 있게 됩니다.

두 선분 AH, HC의 길이를 각각 a, b라고 하면 피타고라스 정리에 의하여 다음이 성립합니다.

둘을 연립하면 a=4, b=3이 나옵니다.

두 직선 m, n을 포함하는 평면과 세 점 A, C, D를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 구해야 하는데, 이는 정사영으로 가능합니다.

삼각형 ACD의 두 직선 m, n을 포함하는 평면으로의 정사영은 삼각형 HCD입니다. 그러므로 cosΘ는 (삼각형 HCD의 넓이)/(삼각형 ACD의 넓이)로 구할 수 있습니다.

우선 삼각형 HCD의 넓이는 쉽게 구할 수 있습니다. 선분 HC의 길이가 3이고 점 D와 직선 HC 사이의 거리가 2루트2이니...

입니다.

삼각형 ACD의 넓이를 구해야 하는데, 삼각형 AFD가 직각삼각형이라는 점을 활용하여 선분 AD의 길이를 구할 수 있고, 그 값은 2루트10입니다. 삼각형 ACD에서 각 C에 대하여 코사인법칙을 적용해 봅시다.

이때 삼각형 ACD의 넓이는 

입니다.

즉, 

이고, 여기서 

입니다. 따라서 구하는 값은 

입니다.