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라즐리 [1084527] · MS 2021 · 쪽지

2022-08-20 23:23:00
조회수 3,413

220914를 풀어볼까?

게시글 주소: https://profile.orbi.kr/00058091645

일단 함수 f(x)의 최고차항의 계수가 1이니, 그것의 도함수 f'(x)의 최고차항의 계수는 3입니다.

f'(0)=f'(2)=0이므로...



또한, x<0에서는 

입니다.


ㄱ을 먼저 볼게요.

p=1일 때, x>0에서 g(x)를 미분해 봅시다.

x=1을 대입하면 

이므로 옳은 선지입니다.


ㄴ에서, 일단 함수 g(x)는 x=0을 제외한 실수 전체의 집합에서 미분가능합니다.

x=0에서 좌(左)미분계수, 우(右)미분계수가 동일하면 x=0에서 미분가능하게 되는데, 일단 좌미분계수는...

x<0에서 g'(x)=f'(x)이고, f'(0)=0이므로 좌미분계수는 0입니다.

우미분계수는 x>0에서 g'(x)=f'(x+p)이고, x=0일 때 f'(p)=0이어야 합니다. p는 양수이기 때문에 p=2가 아니면 g(x)는 x=0에서 미분가능하지 않게 됩니다. 즉, ㄴ도 옳은 선지입니다.


마지막으로 ㄷ입니다.

ㄷ은 수식을 세워서 풀 수도 있지만, 수식 없이 직관으로도 해결이 가능합니다.

p=2인 경우, 함수 g(x)는 x=<0일 때, x>0일 때 각각 다음과 같습니다.

의 값을 계산해 보면 정확히 0이 나옵니다.

p>2인 경우에는 어떨까요?

일단 -1에서 0까지 g(x)의 정적분값은 일정하고, 0에서 1까지 g(x)의 정적분값은 p의 값에 따라 변화합니다.

x>0에서 g(x)의 도함수가 g'(x)=f'(x+p)인데, 함수 f'(x)는 x=2를 기점으로 양의 값이 되고, 이후 계속 증가합니다.

그래서 p의 값이 클수록 g'(x)=f'(x+p)의 값도 점점 커지게 됩니다.

이때 x>0에서 p의 값이 커질수록 g(x)=f(x+p)-f(p)의 값도 증가하게 되고, g(1)의 값도 마찬가지입니다.

p의 값이 증가할수록 0~1에서 g(x)의 값도 커지고, 그러면 0부터 1까지의 적분값도 커질 수밖에 없습니다. 그래서 p=2일 때 주어진 적분값이 0이 나왔다면, p>2에서는 0보다 큰 적분값이 나옵니다.

따라서 ㄷ도 옳은 선지입니다.


(참고)

ㄷ을 이해하기 어렵다면 다음을 생각해 보세요.

a<b이고 구간 (a, b)에서 f'(x)<g'(x)이고 f(a)=g(a)이면 f(b)<g(b)


a<b이고 구간 (a, b)에서 f(x)<g(x)이면 

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라즐리 [1084527]

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