테일러 급수를 삼도극에 (ft. 220628)
현장에서 충분히 떠올릴 수 있을 만한 풀이가 크게 2가지 있다고 느꼈는데요,
하나는 "각의 이등분선의 성질을 활용해 삼각형의 넓이 비율을 이용하기"이고 (그럼 아래와 같이 g가 나옵니다)
다른 하나는 "sin법칙 이용해 변의 길이 나타내기"입니다. (그럼 아래와 같이 g가 나옵니다)
다른 식 같아 보이지만 덧셈정리를 적절히 이용하고 뭐 섞고 하다 보면 같은 식이 나옵니다. (그럴 수밖에 없겠죠?)
여기서 가장 쉽게 문제를 해결하는 방법은 theta=0 근처에서의 선형 근사를 이용하는 방법입니다. 대표적으로 우리가 다음의 세 가지를 알고 있습니다.
그런데 수학2에서 다항함수 극한을 처리하든 미적분에서 삼각함수 극한을 처리하든 우리가 근사를 활용할 때 조심해야 할 점은
최저차항이 날아가면 안된다는 것입니다.
그런데 첫 번째 g에서는 tan2x-2tanx가 근사하면 2x-2x=0이 되어 날아갑니다. 그래서 겉으로 보기엔 근사를 쓰면 안될 것 같습니다.
하지만 이는 테일러 급수 (혹은 맥클로린 급수) 를 적용하면 해결됩니다.
그럼 첫 번째 방식으로 얻은 g는 다음과 같이 근사할 수 있고
두 번째 방식으로 얻은 g는 다음과 같이 근사할 수 있어
깔끔하게 답을 구할 수 있습니다.
오늘의 교훈: 근사가 막힐 때는 테일러 급수를 떠올려보자
오늘의 찐 교훈: 그냥 정석대로 풀자
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