칼럼16) 요청하신 무등비 좌표화 칼럼

요청해주신 무등비 좌표화 칼럼입니다. 

앞으로도 주제 추천은 언제든지 환영입니다! 보고 싶은 주제가 있다면 댓글에 적어주세요

prologue

[좌표화를 대하는 태도]

2가지가 있습니다.

1. 최후의 수단으로 사용할 것!

처음부터 좌표화만 생각하면 더 편한 다른 길이 안 보일 수 있습니다. 다른 걸 시도해보다가 정 안 될 때 마지막에 쓰는 수단이라고 생각하세요. 

또, 좌표화로 풀었다면 꼭 답지 보고 정석 풀이도 확인하시는 걸 추천드려요. 괜찮은 아이디어를 배울수도 있고, 이렇게 하는구나 하면서 경험을 쌓을수도 있습니다.

2. 계산에 대한 각오를 할 것!

좌표화는 출제자가 의도한 풀이가 아닐 겁니다. 우린 그걸 '억지로' 좌표화해서 답을 내는거기 때문에 계산이 더러울 수 있습니다. 이때 당황하지 않고, '더럽지만 이 식 풀기만 하면 무조건 답 나온다' 생각하며 덤벼들어야 합니다. 

이제 본론으로 가겠습니다.

main subject

[좌표화의 아이디어]

 지난번에 이런 댓글이 달렸어요. (전 글 확인하고 오실 필요 없습니다. 여기에 전글 내용까지 포함해서 썼어요)

아니요! 원이 없는 경우에도 가능합니다. 

좌표화 풀이는 원이 있냐 없냐에 따라 방향성이 달라지는데요,

원이 없는 경우부터 알아볼게요. 

(문제는 기출 중에서 쌩으로 풀기에 좀 까다로운 문항들로 준비했습니다.) 

Q1.

2022년 9월 27번입니다. 가독성을 위해 이렇게 그림만 잘라서 가져오고, 문제 정보는 직접 알려드릴게요. 

<문제정보>

AB는 1, AD는 2, 그리고 저기 보이는 직각이등변삼각형처럼 생긴 거 직각 이등변 맞습니다. (EFG)

<좌표화 풀이>

A, 그리고 점 C들은 전부 하나의 직선 위에 있습니다. 한번 이어볼게요.

이 선을 따라가면서 닮음인 도형이 계속 생성되는... 그런 느낌입니다. 마치 닮은 꼴 생성의 기준선 역할을 하는거죠. 앞으로 이런 선을 기준선이라 부르겠습니다. 

기준선을 찾을 수 있는 무등비 문항은 정말 많습니다. 조금 있다가 많이 보여드리도록 하고, 일단 이 문제를 풀어볼게요.

제일 먼저 할 일은 구해야 하는 부분을 인식하는 겁니다.

그 뒤에 할 일은 어떤 정보를 통해 a를 구할 것인지 입니다. 여기서 제 눈에 들어온 건 

기준선과 어떤 선의 교점이 C2다입니다.

강조해둔 이유는, 많은 경우에 직선 좌표화 풀이가 이 구조로 진행되기 때문입니다. 좌표화는 대개 어떤 두 도형의 교점을 구하는 쪽으로 풀이를 전개해가야 해요. 그 도형은 원일수도 있고 직선일수도 있죠.

이제 할 일은 원점 잡기입니다.

직선만으로 이루어진 경우에는 직선 식을 다 세울 수 있기만 하면 원점을 어디로 잡든 별 차이 없습니다.

원점을 A로 잡아도 되고, C1으로 잡아도 됩니다. 원점을 A로 잡았을 때 직선 EG의 식이 보이시나요? 

흠. 

보이는 분도 있겠지만 좀 고민하고 계신 분도 있을겁니다. 그럼 그냥 C로 원점 잡읍시다. C로 잡으면 두 직선 모두 식이 안 보일리가 없습니다. 

둘을 연립하면 C2의 x좌표가 나오겠죠. 즉,

이 길이를 구한 셈이 돼서 아까 궁금했던 a도 구할 수 있습니다. 

다음 문제로 넘어가볼게요.

2021학년도 수능 문제입니다.

Q2.

<문제정보>

EFC는 직각 이등변 삼각형

<좌표화 풀이>

일단 기준선이 확 눈에 들어오네요. 그어볼게요.

빨간색 기준선과, 초록색 직선의 교점이 C2입니다. 

아까 문제랑 구조가 완전이 같아요!

다만 초록 직선식을 어떻게 세울지 고민을 좀 해야겠습니다. 기울기를 알아내야 하는데... 방법이 보이시나요?

tan세타=2인 세타와 45도를 가지고 덧셈정리를 써서 EF 기울기를 구할 수 있습니다. 

EF의 기울기는 3입니다. 

이번엔 원점을 점 A로 잡아볼게요. 그럼 EF의 식은 y=3(x-3)이 될겁니다. 기준선은 y=-1/2 x이므로 두 직선을 연립해도 좋지만, 다른 접근도 가능해요.

C2의 좌표를 (2a,-a)라고 바로 잡은 뒤에, EF식인 y=3(x-3)에 대입하면 a값이 나오겠죠. 원점을 잘 설정하면 간결하게 끝낼 수 있습니다. 

이 문제를 가져온 이유는 덧셈정리 때문이에요. 좌표화 풀이 시에 덧셈정리 쓰는걸 꺼리지 마세요. 

'답을 낼 수만 있다면 일단 내고 본다' 라는 좌표화 컨셉에 맞게 어떤 도구든 사용할 수 있어야 합니다.

다음 문제로 넘어가볼게요. 2020년 4월에 출제된 꽤 어려운 문항입니다. 

4월에 어려운 도형 문제가 많이 나오는 걸로 봐서 아무래도 경기도 교육청에 도형 고인물이 한 분 계시는 것 같습니다

Q3.

<문제정보>

그림에 표시된 길이를 가진 사다리꼴입니다. 

<좌표화 풀이>

이건 어떻게 가도 막 쉽진 않을거에요. 저도 이 문제 처음 풀 때 안 보여서 좌표화로 해결했습니다. 

맨 처음 한 것은 역시나 기준선 찾기 입니다. 

F에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 점 O라고 합시다. 점 D들을 쭉 이은게 점 O를 딱 지나기 때문에, 저 빨간선이 기준선이 됩니다. 

기준선과 GF의 교점이 D2라고 하면 원하는걸 딱 얻을 수 있겠네요. D2C2길이를 알아야 하니까요.

이제 식을 세워야겠죠. 처음 그림으로 돌아가서 정보를 더 뽑아봅시다.

등변사다리꼴의 높이가 4루트2입니다. 그럼 기준선 식을 세울 수 있어요. 원점은 O라고 합시다. 

이제 GF 식을 세워야 해요.

등변사다리꼴을 관찰하다보면 다음 정보 역시 알 수 있겠죠. GF의 y절편은 4루트2고, 기울기는 루트2 /2네요.

이게 GF 식입니다. 둘이 연립하면 D2의 x좌표가 나오고, 그럼 D2C2 길이를 구할 수 있어요. 공비가 나왔네요. 

좌표화 풀이의 장점을 확실하게 보여준 문제라 생각합니다. 해야할 일이 비교적 명료하기 때문에, 그대로 하기만 하면 돼요. 신경 쓸 점이 있다면 

1. 어떻게 식을 완성할 것인가. 기울기 정보와 지나는 점 찾기!

2. 원점은 어디로 잡을 것인가 

...정도겠네요.

원 없는 무등비 좌표화는 이 정도면 충분한 거 같습니다.

 늘 기준선이 있거나, 기준선이 꼭 유용한 건 아니에요. 도형에 그려진 것들만 가지고 식세우면 답 나오는 것들도 있습니다. 그런건 따로 설명할 정도로 좌표화 풀이가 어렵지 않습니다.

도형 문제가 어려운 게 보조선 때문이라고들 하잖아요? 여기서 기준선이 마치 보조선 느낌이기 때문에 일부러 여러 번 보여드렸습니다. 

p.s. 작수 기준선

작년 수능 무등비 문제에서도 기준선을 찾을 수 있어요.

혹은 OP를 쭉 이은 것도 기준선이라 할 수 있겠죠. 

물론 꼭 기준선이 아니라도, 원과 선분 나오면 당연히 고려해봐야 할 '수선 내리기'로 인식해도 되긴 합니다. 

어쨌든 요점은, 좌표화를 안 하더라도 기준선은 종종 도움이 된다는 겁니다. 보인다면 한 번쯤 그어보는 것도 나쁘지 않아요.

아무튼 원으로 넘어가볼게요. 

원이 포함된 경우에 좌표화를 한다면, 원의 방정식을 써먹어야 합니다. 

한편, 원과 직선을 연립하는 건 쉽지 않습니다. 계산량이 너무 많아져서 실수하기 십상이에요. 그럼 원의 경우에는 어떻게 처리해야 하느냐...

다음 예시를 통해 알아보겠습니다. 2023 4월 28번입니다.

Q4.

<문제정보>

위 도형에서 AB, BC 길이 2:뤁3을 유지하면서 계속 도형을 그려갑니다.

<좌표화 풀이>

원도 아까와 마찬가지입니다. 기준선을 찾아볼게요.

A를 원점으로 잡고, "큰 원과 AC가 만나는 점이 C2다"라는 계산을 해주면 되겠죠. 

하지만 앞서 말했듯이, 원과 직선을 연립하는 건 매우 힘듭니다. 그래서 직선을 연립하는 대신 점을 대입하는 방향으로 가야 합니다.

C2 좌표가 다음과 같이 잡히네요. 

이제 원의 방정식을 구해야겠죠.

원은 중심이 (1, 1/뤁3)이고 반지름이 2/뤁3 입니다.  

공비가 6/7로 깔끔하게 계산되네요.

이처럼 원이 나온 경우에는 점을 원방에 대입하는 방향으로 풀이를 전개해가면 됩니다.

네 개의 까다로웠던 기출문항을 통해 좌표화 풀이에 대해 알아봤습니다. 

좌표화 하면 무조건 풀리냐? 묻는다면...

꼭 그렇진 않습니다. 지난 번 글에 2021년 4월 좌표화 가능한지 묻는 댓글이 있었어요.

이게 2021 4월문항인데  

흠... 

저도 좌표화 길이 안 보입니다  ㅋㅋㅋㅋ

이처럼 좌표화가 어려운 문항도 있습니다. 좌표화가 만능은 아니란거죠. 그렇지만 많은 경우에 도움이 될 수 있는 아주 유용한 도구임은 확실합니다. 

책참님이 남겨주신 댓글처럼 말이죠!

준비한 내용은 여기까지입니다. 열심히 썼는데 도움이 되었으면 좋겠네요 ㅎㅎ

전 다음에 더더 좋은 글로 찾아뵙겠습니다. 

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#무민