10모 후기

#4 사잇값 정리에 의해 f(p)=f(q)=0 (1<p<3<q<5) 를 만족하는 실수 p, q가 존재한다. 이때 방정식 f(x)=0의 실근은 0, m, n이며 m, n이 자연수이기 때문에 (m, n)=(2, 4) or (4, 2) 결정 가능하다.

#7 첫 번째 조건에서 6번째 항이 0임을 확인할 수 있다. 두 번째 조건에 이를 적용하면 3번째 항이 6임을 확인할 수 있다. 공차가 -2이므로 2번째 항은 8이 될 것이다. (이 과정을 머릿속으로 마무리하면 재미있지만, 수능 점수는 재미있으면 안되기 때문에 손으로 계산 실수 안 나게 일일이 과정 잘 적어두시길)

#8 부등식이 나오면 한 쪽으로 모두 넘기는 것이 편할 때가 있다.

#9 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수를 따질 때에는 n제곱근의 n이 홀수인지 짝수인지, 거듭제곱근을 관찰하고자 하는 수가 양수인지 음수인지를 확인해야한다.

#10 t에 관해 각 점의 좌표를 작성해내면 점과 점 사이의 거리 공식을 적용해 선분 AB의 길이를 구할 수 있다. 혹은 주어진 직선의 기울기가 t이므로 점 A, B의 x좌표 차이를 구한다음 삼각비 or 피타고라스의 정리를 이용해 sqrt{t^2+1}을 곱해주어도 괜찮다.

#11 삼각함수는 주기함수입니다. 주어진 함수의 주기는 2b이고 넓이 조건에서 선분 AB 길이 결정 가능, 길이 조건에서 b값 결정 가능, 이후 점 A의 x좌표 정도 구해 y=5 대입하여서 a값 결정 가능했습니다.

#13 '결정'하는 문제 상황들은 모두 조건 하나씩 고려하여 필요충분조건 확인해주고, 하나씩 올려가며 교집합의 원소를 찾아가시면 됩니다. 이 문항의 경우 저는 기울기 -2 정보를 활용하기 위해 점 P에서 선분 QR에 수선의 발 H를 내려주고 선분 QH의 길이를 k라 둔 후 삼각형 PQH에서 피타고라스의 정리 돌려야겠다는 생각이 처음에 들었습니다.

#14 f(x)=(x-2)^2+p로 두고 n=1, 2, 3, 4, ... 대입해보면 p가 -19/3 이상이고 -7/3 이하임을 확인 가능. p 범위 구했으면 나머지는 시시하게 풀립니다, 14번 위치 치고 아쉬운 문항

#15 (나) 조건에 3, 5번째 항에 관한 정보가 제시되었으므로 (가)에 주어진 관계식에 n=2, 3, 4 정도를 대입해봅시다. 그리고 n번째 항이 4의 배수냐 아니냐에 따라 (n+1)번째 항이 어떻게 결정될 것인지가 달라지니 경우 분류가 들어와야 했습니다. 

(사실 귀찮아서 아직 답 안 내봤는데.. 조만간 해보겠습니다)

#20 차분하게 식 전개 후 상수 밖으로 빼고 미분 열심히 하시다 보면... 전통적인 f(x)=ax^n+... 설정으로 n값 결정 가능했습니다.

이제 f(x)=px+q 놓고 정리하시면 되겠죠~

식 정리하면 q=0 나오고 f'(x)=4 조건에서 p값 결정 가능하기 때문에 f(x)도 결정 가능했습니다.

#21

원에 내접하는 다각형은, 주어진 다각형의 모든 꼭짓점이 원 위에 위치하는 것으로 이해할 수 있습니다.

선분 DE도 원의 지름이고, 각 CAE의 크기와 각 COE의 크기는 원주각과 중심각의 관계에 있습니다.

원의 중심 O에서 선분 CE에 수직이등분선 내려주면 삼각비에서 선분 CE의 길이는 1, 따라서 선분 BF의 길이도 1

삼각형 ODF에서 cos법칙 통해 선분 DF의 길이 결정 가능, cos법칙 통해 각 OFD에 관한 정보 파악 가능

삼각형 ABF에서 선분 BF 길이 알고, 각 CED와 각 CAD가 원주각의 관계이므로 크기가 일치하고, 지름에 대한 원주각인 각 BAC가 직각이므로 각 BAF의 크기에 관한 삼각함숫값 알고 있고

각 OFD의 크기 알고 있으므로 각 AFB의 크기로 돌리면 삼각함수의 덧셈정리로 각 ABF의 크기 파악 가능

삼각형 ABF에서 sin법칙으로 마무리, 선분 AF의 길이 구할 수 있음

*삼각함수의 덧셈정리는 수학1 과정은 아니지만 쓸 수 있을 때 써서 나쁠 것은 없다고 생각합니다! 특히 ebs 연계교재, 교육청, 사관학교, 경찰대 문항들과 사설 n제/실모 등 평가원 문항이 아닌 것들을 다룰 때 도움이 될 수 있다고 느꼈습니다. (=평가원 시험 응시할 때는 웬만하면 쓸 필요 없다)

#22 g는 미분 가능한 함수이므로 f(x)=p(x-4)^2(x-q)

(가)에서 q=21/2

(나)에서 p<0이면 모순. p>0이고 점 (-2, 0)에서 곡선 y=g(x)에 그은 접점 (c, g(c)) (0<c<4) 에 대한 접선이 마찬가지로 f(x)에 접해야함. 공통접선 상황

접점 (c, g(c))에 대한 접선의 방정식 작성해 c값 결정 및 직선 L(x) 식 세우고 접점 (u, g(u)) (u>4) 설정하여 L(u)=g(u), L'(u)=g'(u) 연립하면 u, p값 결정 가능

#확통27 두 자연수에 대해 공통된 약수가 1로 유일할 때, 두 수를 서로소라고 한다. 1, 2, 3, 2^2, 5, 2*3, 7, 2^3에 대해 1, 5, 7은 소수이기 때문에 옆에 아무나 와도 된다. 따라서 먼저 원순열 2!을 돌려줬다.

이제 1과 5 사이, 5와 7 사이, 7과 1 사이 이렇게 세 구역을 잡고 남은 2, 3, 2^2, 2*3, 2^3을 배치해야하는데... 나머지는 소수 혹은 소수의 거듭제곱꼴이지만 6만 서로 다른 소수의 곱으로 이루어진 수임을 확인 가능

따라서 6을 먼저 배치하면, 그 구역에는 나머지 숫자들이 들어갈 수 없다. 어디에 배치하느냐에 관한 경우의 수 3C1

만약 어떤 구역에 3이 없다면 2, 2^2, 2^3 중 한 가지만 배치될 수 없다. 따라서 구역 선택하고 세 수 중 하나 고르는 경우의 수 2C1*3C1

이제 3과 2, 2^2, 2^3 중 두 수가 남았다. 예를 들어 2, 3, 4가 남았다고 해보자. 2와 4는 이웃할 수 없으므로 234 혹은 432가 되어야 한다. 따라서 경우의 수 2

--> 2! x 3C1 x 2C1 x 3C1 x 2 = 72

ㄴ 솔직히 저 경우의 수 진짜 못 세는데 이건 풀이 좀 잘 쓴 것 같아요 뿌듯~~

#미적26 g에 5f 합성해둔 것 귀엽죠, 미분하면 g'(5f(x))*f'(x) 나옵니다

#미적28 f만 봤을 때는 복잡하게 생겼다는 점에서 2024학년도 6월 미적분 28번에 제시되었던 항등식 우변도 떠오릅니다. (나) 좌변 봤을 때 어쨌든 f를 적분해야하기 때문에 어떻게 하면 좋을지 생각하다가... x=pi/2-t 정도로 치환하여 f가 그대로 유지되는 것을 보고 함수 f(x)가 a, b값에 무관히 x=pi/4에 대칭임을 발견할 수 있었습니다.

하지만 (가)에서 a=0 or b=0이기 때문에 시시해집니다. 각 경우에 대하여 sin(x) 혹은 cos(x)에 관한 적분을 걸어줄 수 있고

a=0일 때 b값 2개, b=0일 때 a값 2개 확보하여 총 4가지 경우에 대해 a-b값 살펴보면 되었습니다.

#미적29 

점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라 할 때 삼각형 EBH와 ABC가 AA 닮음이므로 점 H는 선분 BC의 중점

선분 EC와 원이 만나는 점을 F라 할 때 각 DAF의 크기를 beta로 두어 삼각형 CED의 내각 모두 표기 가능

근데 뭔가 답이 없어보이고..

호 DH에 대한 원주각, 중심각 관계를 이용하고 삼각형 AED에서의 sin법칙으로 선분 AD 길이 구할 수 있음

삼각형 CDH와 삼각형 CBA의 닮음 관계를 이용, (할선 정리에 따라) 선분 CD의 길이 구할 수 있음

삼각형 CDE 넓이를 구해주면

극한 처리해주면

답은 30 됩니다.

이렇게 정리하고 보니까 각 CHD와 각 HAD의 크기가 일치하기 때문에 (접선과 현이 이루는 각) 삼각형 CHD에서 선분 CD의 길이 간단하게 구해 

상황 정리할 수도 있었겠네요 ㅜㅜ

이처럼 문제 상황을 대할 때 미리 '이거 떠올릴 준비 해두어야지'라고 해두지 않으면 잘 떠오르지 않는 것들이 있다고 느꼈습니다.

특히 도형 문제를 풀 때 

[] 피타고라스의 정리

[] 각의 이등분선 정리

[] 중선 정리

[] 접선과 현이 이루는 각

[] 이등변삼각형 보이면 수직이등분선 

[] 원 위의 점과 원의 중심 연결

[] 원주각과 중심각

[] 할선 정리

[] 원이 삼각형에 내접하면 원의 반지름과 삼각형의 세 변의 길이의 합을 곱한 값의 절반이 곧 삼각형의 넓이

[] 삼각형에 외접하는 원이 나왔거나 각의 크기를 많이 알고 있으면 sin법칙

[] 두 변의 길이와 한 각의 크기를 알거나 (끼어있으면 확정, 끼어있지 않으면 이차방정식 나올 것입니다) 세 변의 길이를 알 때 cos법칙

[] 닮음

[] 좌표계 설정

[] 원의 중심에서 현에 수직이등분선

[] 원끼리 접하면 원의 중심끼리 연결

[] 삼각함수의 덧셈정리

[] 비율 제시되면 비례 상수 활용해 직접 길이 등 작성

[] 원, 다각형 간 접하거나 한 점에서 만날 때는 직선의 기울기, 각의 크기에 초점

[] 비슷한 조건이 여러 개 제시되었을 때는 하나씩 차분하게 고려

[] 어떤 점까지의 거리가 일정하게 유지되면 원

[] 어떤 점까지의 거리와 어떤 직선까지의 거리가 일치하면 포물선

[] 어떤 점까지의 거리와 다른 어떤 점까지의 거리의 합이 일정하면 타원

[] 어떤 점까지의 거리와 다른 어떤 점까지의 거리의 차가 일정하면 쌍곡선

정도는 머릿속에 각인해둔 상태에서 접근하시는 것이 현장에서 시간 단축 및 효과적인 풀이 발견에 도움이 될 것입니다!

미적#30 

(가) 조건에서 미분 가능한 함수가 극값을 가지면 도함수의 부호 변동이 발생함을 이용해 위와 같은 부등식을 얻을 수 있습니다.

(나) 조건을 해석해봅시다, f가 극값을 지닌다면 ㅣfㅣ도 극값을 지닙니다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 우선 2-a가 확정적으로 합에 포함됩니다. 

f는 극값을 지니지 않지만 ㅣfㅣ가 극값을 지니는 곳을 떠올려보면 f(x)=0이지만 f'(x)=/=0인 x값들이 존재할 수 있습니다.

만약 이차함수 x^2+ax+b가 서로 다른 두 실근을 갖는다면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 따라 (나) 조건을 만족하는 k값 합에 -a가 더해져 2-2a=3임에 따라 모순이 발생합니다.

만약 이차함수 x^2+ax+b가 중근을 갖는다면 이차방정싱의 판별식에 의해 a^2-4b=0입니다.

이때 방정식 x^2+ax+b=0의 실근이 x=-b/2a이므로 (2-a)-a/8=3에서 모순이 발생합니다.

따라서 이차함수 x^2+ax+b는 실근을 갖지 않고 a^2-4b<0임을 확인 가능합니다. 즉,

임을 확인 가능합니다.

이때 2-a=3에서 a=-1이고 위의 부등식을 b에 관해 정리하면

f를 결정 가능합니다.

#기하27 (가) 조건에서 사각형 ABCD가 사다리꼴임을 확인 가능

(나) 조건을 편하게 바라보기 위해 점 A가 원점이고 점 D가 양의 실수가 x좌표인 x축 위의 점이라 생각해보자. 

A(0, 0), B(p, q), C(r, q), D(s, 0)에 대해 주어진 벡터방정식을 정리하면

t값을 결정할 수 있습니다.

이후 삼각형 넓이 조건 적용하면 답은 5번입니다.

#기하29 (가) 조건에서 점 P는 원 x^2+y^2=4 위를 움직이고 크기가 0이 아닌 두 벡터를 내적해서 값이 0이 나오려면 두 벡터가 수직이어야 합니다.

따라서 삼각형 OAP는 각 변의 길이가 2, 루트21, 5인 직각삼각형이 될 것임을 확인할 수 있습니다.

(나) 조건에서 점 Q는 원 (x-5)^2+y^2=1 위를 움직이고 아까와 같은 논리로 두 벡터가 수직이어야 합니다.

따라서 삼각형 OAQ는 각 변의 길이가 1, 루트24, 5인 직각삼각형이 될 것임을 확인할 수 있습니다.

원의 중심과 원 위의 점을 이은 직선이 주어진 원 위의 점을 지나는 직선과 수직이라면 후자는 접선입니다.

따라서 답을 내주면 다음과 같습니다.

#기하30 구의 중심 O에서 선분 AB에 수선의 발 H를 내리면 직각삼각형 AOH에서 피타고라스의 정리에 의해 선분 AB의 길이는 4

이후는 공간 지각 능력이 딸려서 천천히... 고민해보겠습니다 ㅋㅋ

<감상문>

재밌었습니다! 2024학년도 9월 시험지와 비교할 때 상대적으로 반윤이었다고 느꼈습니다. 하지만 2022학년도 예시 문항부터의 9회치의 평가원 시험지에 기반할 때 친윤이라고 생각합니다. 문제가 괜찮다, 문제가 별로다 이런저런 말이 많아서 한 번 풀어보고 싶었는데 다음 6가지 문항 말고는 그리 인상적이진 않았던 것 같습니다.

4번, 9번, 22번의 '기본에 충실함'과 확통27번, 미적28번, 미적30번의 '경우의 수 분류'에 초점을 두시고 수학 학습 잘 마무리해가셨으면 좋겠습니다! 물론 이 글 또한 제 주관적인 생각을 담고 있기 때문에 '이 사람은 이렇게 생각하는구나~' 정도로 확인하고 넘어가시면 감사드리겠습니다.