증가와 도함수의 관계: 16학년도 9월 가형 30번 (조건 해석만, 화질구지)
조건 (나)의 해석에 대해 '어떤 글'을 본 적이 있다. 그 전에 증가와 도함수의 관계 개념을 조금 짚고 가자.
용어 (평변=평균변화율)
단조증가함수: a<b이면 f(a)<=f(b), 평변이 0이상과 같은말, 순증가함수를 포함
순증가함수: a<b이면 f(a)<f(b), 평변이 0초과와 같은말, 수능 수학에서 일반적으로 말하는 증가함수
사용하는 명제 조건의 관계 (밴다이어그램 그리면 편함)
A. f'>0이면 순증가함수=평변 0초과이다. 증명은 평균값정리.
추가A. 순증가함수=평변0초과면서 f'>0이 아닌 경우는, y=x^3같이 증가하다 서로 떨어진 x(연속하지 않은)에서 f'=0(멈칫)하는 경우를 포함하는 것뿐이다.
(연속하지 않은x: [a,a] 말고 닫힌 구간을 이루지 않는다 보면 됨).
B. 순증가함수=평변0초과이면 f'>=0이다. 증명은 극한의 대소관계로, 없던 등호가 생긴다.
추가B. f'>=0이면서 순증가함수=평변0초과가 아닌 경우는, 이번 미적 28번의 x>=0파트 함수처럼 연속적인 x에 대하여 f'=0인 구간이 나타나는 경우를 포함하는 것뿐이다.
(연속적인 x: [a,a] 말고 닫힌 구간을 이루는 x라고 보면면 됨).
C. f'>=0과 단조증가함수=평변0이상은 동치조건이다. 방향별로 오른쪽 증명은 평균값 정리, 왼쪽 증명은 극한의 대소관계.
추가A. 설명) f'<0인 x가 있으면 이는 순증가함수를 포함하는 f'>=0에 속하지 못하므로 논외, f'=0인 x가 연속적으로 있음=평변이 0일 수 있다면 순증가함수가 아님. 즉 f'=0인 x가 순증가함수에서 존재한다면 서로 떨어지게 나와야 함.
추가B. 설명) f'>=0은 평변0이상과 동치, 그러면서 순증가가 아닌 단조증가라는 것은, 평변 0인 두 실수가 존재하는 한다는 것과 동치. 그 함숫값을 c라고 할 때, 그 구간에서 최댓값이 c초과이면 그 값과 오른쪽 구간끝에서 평변<0, 최솟값이 c미만이면 그 값과 왼쪽 구간끝에서 평변<0. 따라서 그 두 실수로 만든 구간은 상수구간이고 순증가가 아닌 단조증가는 상수(연속)구간 존재.
현실 활용: 추가B에 해당하는 것이 아니라면 순증가함수=평변0초과를 f'>=0과 필요충분조건으로 놓을 수 있으므로 이렇게 조건을 정리하여 문제를 푼다.
앞서 언급한 '어떤 글'의 글쓴이의 주장은 이러하다.
1. '평균값 정리'로 (나)를 해석하면 안 된다. f'(c)>=-1인 것은 -1보다 큰 도함수값이 존재한다는 것만을 말하지 구간에 대한 정보로 적절하지 않다. (여기까진 필자도 ok, 좋은 설명이라 생각함)
2. 미분계수의 정의로 x2->x1으로 가면 f'(x)>=-1으로 정보를 얻는 건 부족한 설명이다.
3. f(x2)+x2>=f(x1)+x1으로 하면 f(x)+x가 단조증가함수이므로, f'(x)>=-1이다. 이렇게 가야 한다.
4. 2번이 부정확한 설명인 이유는, x2가 x1근처일 때만의 정보이며 x1=1, x2=1000일 때 등에 대한 설명을 간과했다. 도미노 원리 어쩌고로 이를 보완해야 한다. 3번은 단조증가함수이므로 당연히 옳은 접근이다.
(4.에 대한 병훈T로 추정되는 계정의 반박: 2번에 대해 그런 논리가 아니라 역증명을 해서 필요충분임을 보이면 된다)
원글의 작성자는, 조건(나)의 2번 설명이 필요충분조건으로 논리를 전개하지 못했기 때문에, 더 느슨한 조건으로 가고 있다는 것을 지적한다. 느슨한 조건으로 가면, 필요없는 경우까지 포함(대충 밴다이어그램 생각)하여 구할 수 있기 때문이다. 답이 어쩌구의 최댓값을 구하라고 하니 더욱 필요충분조건으로 논리를 전개하는 것이 맞고 이는 좋은 지적이다.
그런데 이에 대해 도미노 원리가 있다는 것도 그렇고, 애초에 2번을 어떻게 특별한 논리로 보완한다는 식으로 가는 것이 참 아쉽다. 그냥 최댓값 어쩌고 문제를 풀어야 하니, 조건을 필요충분조건으로 가야 한다는 생각이 들어서, (위에 언급한 도함수와 단조증가함수의 관계를 응용하여), 2번으로 구한 조건인 f'(x)>=-1에 대하여(가정), 그러하면 (나)=결론이라는 명제를 보여 결국 둘이 동치인지 확인하려고 하면 된다. 사실상 병훈T추정계정의 '역증명' 접근과 같다.
또한, 2번은 어렵게 보완하면서 동시에 3번 설명은 단조증가함수를 썼기 때문에 바로 가능한 논리라는 설명은 앞뒤가 맞지 않는다. 3번의 단조증가함수 풀이도, (g=f+x일 때) 단조증가함수=평변0이상과 g'(x)>=0이 동치라는 것을 쓴 것이다. 실제로, 앞서 언급한 명제 C에서 우변이 -1인 경우가 2번, 0인 경우가 3번인 것이다. 식 조작을 통해 그냥 우변의 값이 달라질 뿐, 사실상 같은 행동이다. 정리하면
2번: 평변>=-1 조건을 f'(x)>=-1로 푼다
3번: (g=f+x로 두고) 평변>=0 조건을 f'(x)>=0으로 푼다.
이렇게 되기 때문에, 2번과 3번의 논리적 접근이 다를 수 없다. 단, 2번의 경우 명제 C의 오른쪽을 0에서 -1로 확장했다는 것을 의식해야 할 뿐이다.
만약에 (나) 조건에 등호가 빠진다면, 먼저 3번은 g=f+x로 두고 순증가함수=평변0초과이면 f'>=0을 쓰고, (명제 B 이하의 내용을 이용)도함수값이 0인 연속구간이 있어 보이지 않으므로 필요충분조건으로 정리했다고 할 수 있다. 2번의 경우 극한으로 평변>-1이면 f'>=-1을 얻고, 필요충분조건 확인을 위해 문제 조건 만족하는 f'>=-1(평변>=-1과 동치)인 함수 중 평변=-1(서로 다른 실수)일 수 있나 확인해보면 되는데, 문제의 식이 아까 B와 C 사이에 추가B에 해당하는 경우(오른쪽이 0 대신 -1, 도함수값이 -1인 연속구간 존재)가 아니기 때문에 f'>=-1로 필요충분조건 정리를 해도 된다는 논리를 쓰면 된다. 등호가 없어도 제대로 할 수 있어야 한다는 게 대단한 논리가 필요한 게 아니라, 그냥 늘상 하던 '맨 아래의 현실 활용'에 대해 파악하면 될 일이다.
결론: 제대로 된 강사의 설명은 2번과 3번 풀이의 논리가 다르다고 설명하면 안 되며, 위와 같은 명제를 제시하여 판단의 기준을 잡아 주고(f의 연속적 상수a구간 없다면, 평변>a와 f'>=a 는 필요충분조건), 필요충분조건으로 논리를 전개해야 함을 각인시켜 오히려 2번과 3번이 같은 논리라고 해야 한다. '어떤 글'은, 그저 2번 풀이가 필요충분조건으로 가는 논리가 아닐 수 있음을 짚은, 딱 거기까지의 수준이다.
'어떤 글'의 삭제된 후속편은 못 봤는데, 이미 그 글의 댓글로 글쓴이의 설명의 부족함은 충분히 드러난다.
그 링크를 남기도록 하겠다.
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수학적으로 잘못된 내용이 많네요
추가A. 설명) f'<0인 x가 있으면 이는 순증가함수를 포함하는 f'>=0에 속하지 못하므로 논외, f'=0인 x가 연속적으로 있음=평변이 0일 수 있다면 순증가함수가 아님. 즉 f'=0인 x가 순증가함수에서 존재한다면 서로 떨어지게 나와야 함.
이 부분부터 틀렸습니다.
다른것도 어디한번 지적해보세요. 뭐가 잘못되었는지 궁금하고, 0으로 가까이 가는거랑 연속구간을 갖는거랑 구분도 못하는 사람이 뭐라고 할지 기대되네요. 표현과 논증의 엄밀함은 다소 떨어질 수 있으나, 내용이 잘못되었다는 건 말이 안되네요.
그러면 서로 떨어진x라는 표현이 혼동의 여지가 있다고 해야지, 내용을 아는 사람이 구태여 잘못된 내용 많다며, 가져오라는 디리클레는 있지도 않고, 이산적인 f'=0분포 가져와서 반박하는 건 무슨 말도 안되는 경우입니까? f'=0인 그런 구간이 존재하지 않는다는걸 직관적으로 수직선상에서 그런x들이 이어지지 않고, 연속적이지 않다고 해도 사실상 같은 표현으로 알아들을 수 있는데, 왜 제대로 설명도 못하면서 꼬투리를 잡나요? 심지어 이 추가A까지의 내용은 어차피 B 이후가 쓰이는 내용이라 대충쓰고 넘긴 겁니다.
'수학적으로 잘못된 내용 많다' '떨어져야 하는 것은 전혀 아닙니다' (표현 지적 단 하나, 같은 의미로 표현 바꾸니 완벽하다 하며) 진짜 대단하세요. 이해를 위한 표현에 억지로 꼬투리 잡는 어그로로 알겠습니다. 아까 예시함수의 f'=0인 x가 간격이 0에 가깝다는 말 듣고 0이랑 무한소 구분 못하는 사람인걸로 받아들여 무시했어야 했는데 말이죠. 그런 사람이 가르치려 들다니 참ㅋㅋㅋ 보니까 경희 의논 물리 보셨네요. 성격 보니 필드에서 마주치지 맙시다. 피곤하겠네요.
왜죠?
아주 간단한 예시로, 도함수의 그래프가 0부터 pi까지 사인함수의 그래프 모양이 절반씩 줄어드는 형태를 떠올려보세요
2pi까지 무수히 많은 점에서 f'=0임에도 불구하고, f는순증가함수입니다.
f'이 0인 두 점 사이의 간격이 한없이 작습니다.
그래도 그 두 점의 간격이 0은 아니잖아요? 이산적 f'=0도 무수히 많을 수 있고, 0에 가까운거랑 어떻게 착각을 합니까. 이는 올바른 반박이 아닙니다. 연속인 상수구간이 생기는 반례를 찾아서 반박하세요. 무한으로 말장난하지 마시고.
0.9에서, 0.99에서, 0.999에서, 0.9999에서 계속 y=x^3의 x=0처럼 움직이면, 그건 이산적인 수열로 f'=0이 생기는겁니다. 님이 주장한 잘못된 반례가 이거랑 같아요. 이게 f'=0인 x가 연속적으로 있는겁니까?
주기가 2pi라고 하면 f'(2pi)=0 이구요, 2pi 의 좌측에 f'=0 인 점은 무엇인가요? 간격을 잡을 수조차 없습니다.
이외에도 디리클레 함수와 유사하게 유리수와 무리수 등을 활용해 특이한 함수를 얼마든지 잡을 수 있어요. 말씀하신 것처럼 서로 떨어지게 나와야 하는것은 전혀 아닙니다.
2pi를 포함하는 닫힌 구간의 모든 실수가 f'=0인가요? 전혀요. 아무리 닫힌 구간을 작게 잡으려고 해도, 그 구간보다 작은 봉우리가 있습니다. 디리클레 함수 언급하실 정도면 입실론 델타는 아실텐데 왜 그러실까? 그리고 디리클레 함수는 불연속함수잖아요. 지금 미분가능하다는 전제로 말하는데 왜 끌고오는지.
간격이 잡을수조차 없이 작긴 한데, 그게 연속적으로, 수직선 상에서 점이 아닌 선으로 x들이 분포하냐구요. 그게 아니면 연속적으로 x가 있다고 하면 안되죠..
디리클레 함수가 아니라 그와 유사한 함수라고 말씀드렸는데요? 간격이나 실수집합의 부분집합인 집합은 굉장히 특이한 것이 많구요 저렇게 떨어져 있다 정도는 수학적으로 실체가 매우 불분명한 표현으로 보시면 됩니다.
별개로, 내용을 제대로 안읽이보았었는데, 다시 읽어보니 2번 풀이가 전혀 부족한 풀이가 아니고, 링크한 글의 내용이 이상하다는 점은 동의합니다.
그럼 그런함수를 꼭 가져오시구요. 디리클레와 유사하면서 미분가능하다니 감도 안오네요. 실체가 불분명한 'x가 떨어져 있다'는 표현은 반례를 대충 설명하기 위한 것으로, f'=0인 x는 반드시 (단일원소 논외)닫힌 구간을 이루지 않는다고 하면 되겠네요. 그런데 이는 순증가함수와 (순증가 아닌)단조증가함수의 차이를 생각하면 당연한데, 왜 계속 반박하시려는지.
네 f'>=0 일 때, f가 순증가하기 위한 필요충분조건은 f'=0인 열린 구간이 존재하지 않는다. 라고 하면 완벽한 설명입니다
대학수학 가져오시기 전에, 수열 0.9, 0.99, 0.999, ... (1-0.1^n), ... 의 함숫값은 원소가 0, 1개가 아닌 닫힌구간을 가득 채울 수 있습니까? 이게 당신의 주장입니다.
미분 가능한 순증가함수이면, 정의역 내에 어떤 열린구간이 존재해서 항상 f'=/=0이 된다고 주장하시는 것 맞나요? 증명을 해보세요. 본인도 증명 못하는 내용을 아득바득 주장하시는 것 같네요