다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 
로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 
이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수
에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 
이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
얼죽아 4
얼어죽어도복숭아아이스티 커피는 써요..
-
그냥 다 찢고 잔담에 수능 끝나면 일어나고싶음 씨발…
-
D-11 ㄱㅂ 3
이감 파이널 10차 85 불찍파 9-1,2,3강 킥오프 복습 올기총 복습 이다지...
-
오늘 과탐 모고 3개 과탐 기출 100문제정도 품 그냥 과탐만 함
-
네 저는 또 낙서해요
-
질받메타네요 11
저도 질문받아요
-
버뮤다옥천지대에서 실종됨
-
더프 성적표 3
온라인 응시 아니면 온라인에서 확인 못해요?
-
근데 친구가 없어..
-
-
뭐가 더 어렵나요
-
15문제 ㄷ 선지인데 A가 감속팽창 B가 가속팽창입니다. 감속팽창과 가속팽창의 현재...
-
-
ㅈㄱㄴ..
-
사람이 2
아닌거 같아요....
-
나도 무물 메타 참전함 16
졸려서 뒤질 거 같ㅇㅁ
-
질문 받음 12
심심함
-
아 ○○ 7
이 안에 들어갈 말로 옳은것을 서술하시오
-
예스 오얼 노우 안바쁘다면 이유도 같이...
-
왜 논문 검색해서 링크 타고 들어가면 500 error 뜨지 근데 정작 또 메인 홈페이지는 열림
-
자작 실모를 만드는 국어 강사가 누가 있나요? 주문하려고 하는데 제가 지금 아는...
-
예비 고2 여고생 무물 22
.
-
아무거나
-
-
가질수 있을까요
-
분명 연관성은 없어보이는데 뭔가 맞는말 같음 나도 물리 좋아하고 주변에 물리 좋아하는애들도 씹덕임
-
3005년생이에요 미래에서ㅏ 왓써요
-
-
수학 미적 1
공통에 비해 미적이 너무약합니다 (4점은 못맞춤) 남은기간 미적을 올리기엔...
-
검정 반팔+빨간 반바지or 남색 반바지 +서울대 과잠?? <——이건 개별루….?
-
적중예감 안풀고 강k 풀까 하는데 난이도 차이 심한가요? 적중예감은 42~25 정도 입니다
-
특징이 뭔가요???
-
수능끝나고 닉변 되겠다 15
엉
-
수시점공 1
과고는 등수 신뢰도 없죠?
-
예비 15수생 질문받음 30
작년에 13수하던중에 외할아버지가 돌아가셔서 수술비에 간병비에 장례비 왕창 쓰느라...
-
ㅇㅅㅇ... 4
-
6월쯤부터 다녔는데 밥은 형편없지만 나가서 먹어서 알빠노고 그냥 일반적인 독재임...
-
수학 찍기 3
12부터 15까지 찍는다 햇을때 44 22 밀 생각인데 번호 예측 추천좀요 수학...
-
질문해봐라 이것들아 21
ㅇㅇ
-
그래도 오늘 나름 공부한것같은데 좀 쉴까 국영은 안했지만 수탐탐 실모 2개씩 했으니...
-
200팔 하고 싶은 밤이네요
-
현역이 부럽다 12
아니 그냥 고등학생때가 그립고 부러워 이젠...
-
준비 없이 처음 평가원 모고 풀어봤을때, 등급대가 어느정도로 나오셨는지 혹시 알 수...
-
비참하다
-
지금 물리 기출문제집 전체적으로 복습할까요 아님 실모 양치기할까요? 둘 다 하고...
-
허수라 그런가 점프빼고 풀어도 반타작남.. 견뎌야겟지?
-
https://orbi.kr/00069737995/%EB%82%B4%EC%9D%BC%...
-
개웃기네 ㅅㅂㅋㅋ
-
팝송 추천좀…. 2
저스틴❤️아리아나
-
분명 (수학 빼면) 개별 과목당 원하는 점수를 한 번쯤은 받아봤는데 이게 11일...
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다