[박수칠] 미분계수와 함수 극한의 관계에 대하여
미적분1에서 미분계수의 정의를 배우고, 간단한 예제를 풀고 나면
다음과 같이 미분계수의 정의로 함수의 극한을 구하는 문제가 나타납니다.
이 문제는 h → 0일 때 f(a+3h) → f(a), f(a-2h) → f(a)임에 착안해서
Δy = f(a+3h) - f(a), Δx = (a+3h) - a = 3h로 보고 미분계수 하나를,
Δy = f(a-2h) - f(a), Δx = (a-2h) - a = -2h로 보고 미분계수 또 하나를
만들어 풀게 됩니다.
그런데 비슷한 문제를 몇 번 풀다 보면 이런 생각이 듭니다.
답이 똑같긴 한데... 미분계수의 정의에 맞지 않기 때문에 불안합니다.
그럼 이 방법이 맞는지, 틀린지 알아보도록 합시다.
(지금부터 할 얘기는 결과적으로 맞다, 틀리다를 논하는 것입니다.
과정적으로는 미분계수의 정의와 다르기 때문에 서술형에 활용하는 것을 금합니다.)
먼저 f'(a)의 값이 존재하면 네모와 같은 방법으로 답을 찾을 수 있습니다.
다음이 성립하기 때문이죠.
f'(a)의 값이 존재하면 등식의 좌변을 미분계수의 정의에 맞게 변형해서
로 만들 수 있습니다. 따라서 f'(a)의 값이 존재할 때는 복잡한 과정 없이
Δx, Δy만 맞춰주면 된다는 얘깁니다.
이를 그림으로 표현하기 위해 함수 y=f(x)의 그래프 위에 세 점
P ( a, f(a) ), Q ( a-2h , f(a-2h) ), R( a+3h , f(a+3h) )
을 정하면
이고, h→0 일 때 두 점 Q, R 모두 점 P로 한없이 다가가기 때문에
직선 QR은 점 P에서의 접선으로 한없이 다가감을 알 수 있습니다.
따라서 극한이 점 P에서의 접선 기울기, 즉 f'(a)가 됨을
직관적으로 예상할 수 있죠.
f'(a)의 값이 존재하지 않으면 네모와 같은 방법을 쓸 수 없습니다.
대신 다음과 같이 생각해야죠.
예를 들어 f(x) = | x-a |라고 합시다.
다들 알다시피 x=a에서 미분불가능한 함수죠.
이 함수를 대입해서 계산해보면 다음과 같이 극한이 없습니다.
그렇다면 함수 f(x)가 x=a에서 미분불가능할 때
위 극한의 값도 존재하지 않는 걸까요?
이를 알아보기 위해 다음 함수를 보겠습니다.
x=a에서 불연속이라 f'(a)가 존재하지 않네요.
위 극한의 값은 어떨까요?
극한이 존재하네요.
이제 (2)에서 극한이 존재할 수도 있고, 존재할지 않을 수도 있는 경우
모두 아시겠죠?
마지막으로 (1), (2)에 잘 들어맞는 기출 문제 두 개 짚고 넘어가겠습니다.
먼저 2008학년도 수능 6월 모평 가형 문제입니다.
ㄱ은 ' f'(1)=0이면 함수 f(x)가 x=1에서 연속이다 ' 랑 같은 얘기네요.
당연히 참.
ㄴ은 f'(1)=0일 때
이 성립하는지 물어보는 문제입니다.
앞에서 설명했던 (1)에 딱 들어맞는 상황이니 참.
ㄷ은 f(x)= | x-1 |일 때
이 성립하는지 물어보는 문제입니다.
f'(1)의 값이 존재하지 않기 때문에 (2)에 딱 들어맞네요.
이럴 때는 일일이 계산하는 수 밖에 없습니다.
오호~ 참이네요.
다음 기출은 2009학년도 10월 학평 문제입니다.
ㄱ은 당연히 참.
ㄴ은 (2)에 해당되는 문제입니다.
극한값이 존재해도 f'(a)가 존재하지 않는 경우가 있으니 거짓이네요.
ㄷ의 극한값은 h→0일 때 h²→0+이므로
함수 f(x)의 x=1에서의 우미분계수와 같습니다.
그런데 좌미분계수가 존재하는지, 우미분계수와 일치하는지
알 수 없으니 거짓이네요.
***3줄 요약***
1. f'(a)의 값이 존재하면 다음이 성립한다.
2. f'(a)의 값이 존재하지 않으면
의 값은 존재할 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있다.
3. 1을 서술형 문제 풀이의 근거로 쓰지 마시라!
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하정말 벌써부터 긴장대여
좋은글입니다!
감사합니다! ^^
소위 말하는 '야메'같아 보이는 나만의 공식도 논술에서 제대로 증명을 해내면 사용해도 되겠지요?
글쎄요... 채점 기준에 대해 잘 모르지만
교과 과정에 충실하게 작성한 것이
모범 답안이라 생각합니다.
특히 논술의 경우에는
문제 해결에 필요한 교과 과정 내용을 제시문의 형태로 주기 때문에
그 테두리 내에서 해결을 해야 좋은 점수를 받을 수 있을 겁니다.
갓수칠
언제 들어도 좋은 말이네요~ ^^
이걸 적절히 연습할 수 있는 문제가 예전 사관학교 ㄱㄴㄷ문제에 있죠
아 그런가요?
요즘 출제 경향에선 살짝 벗어난 감이 있지만
개념 이해에 참 좋은 유형이죠~
뭐야
미정계수구하는거분명히배웠는데왜처음부터뭔소린지하나도모르겠지???
ㅠㅠ
미분계수의 정의 바로 다음에 나오는
함수의 극한 유형을 복습하면 됩니다~ ^^
사실 많은 사람들이 아무 관계가 없는 내용인데 미분가능성을 전제로 두고서 막 미분하는 경향이 있는데 그런 사람에게 보여주면 아주 좋은 글인것같습니다!
감사합니다.
개념에 대한 이해가 부족한 상태에서 문제를 풀 때 위험한 것이
'이렇게 해서 답을 맞췄으니 다음에도 똑같이 하면 되겠지'
라고 생각하는 걸 겁니다.
답을 맞췄더라도 미심쩍은 부분이 있다면
이유를 꼭 확인해야 되겠죠.
앞으로도 개념을 이해하는데 도움이 될 만한 글
종종 올리겠습니다.
딱저네요..미분가능성 전제해서 막미분..
이관데 이런개념들부족하면 수1을다시보는게맞겠죠?
h가0으로갈때 h^2이 0+로가는건 왜그런건가요..
(실수)²≥0이기 때문이죠.
h→0이면 h²→0이고, h≠0이니까 h²>0입니다.
따라서 h²→0+가 됩니다.
함수 y=x²의 그래프를 그리고 x→0일 때 y값의 변화를 보면
0보다 크면서 0으로 다가가기 때문이기도 하구요.
그리고 본문의 내용들에 대한 이해가 부족하면 수학1을 다시 보기보다는
공부할 때 디테일 있게 하는 것이 중요할 것 같습니다.
개념 이해한 다음 다양한 유형을 풀 때 맞췄다고 그냥 넘어가지 말고,
해설을 한줄한줄 보면서 왜 이 방향으로 가는지 자꾸 따지는 거죠.
' f"(x)>0이면 f(x)가 아래로 볼록하다 ' 라고 외우지 말고
' f"(x)>0이면 f'(x)가 증가하고, f'(x)가 증가하면 접선 기울기가
점점 증가하는거니까 f(x)가 아래로 볼록하다 ' 라는 식으로
중간 과정을 집어 넣으면서 이해하는 것이 중요합니다.
갓수칠님이 마지막에 말하신방식대로 미2공부를 다 끝냈습니다
근데 개념이부족하다는 찝찝함과 불안감은 왜항상있는걸까요..?
미2정석을 꼼꼼히봐도 개념을확실히안다는 느낌이안오더라고요
예를들어 역함수문제를풀때 일대일대응이라는것에 꽂혀서풀다가 문제가안풀림을알고
10분고민뒤에 단조증가 단조감소의 특징을 기억해내고 문제에적용합니다
풀었는데도 찝찝하고.. 체크해놧다가 다시풀어야하나 생각도들고..
개념을 완벽하게 안다는 것을 제자신이 어떻게 알수있을까요?
답변해주시면 정말감사하겠습니다 ㅠㅠ
어떤 책으로 공부하든, 개념을 완벽하게 알 수는 없습니다.
중요한 것은 반복하면서 이해도를 끌어올리는 것이죠.
문제 풀 때도 마찬가집니다.
내가 이해한 것보다 높은 수준을 요구하는 문제도 있고,
'내가 잘못 이해했구나'라는 깨달음을 주는 문제도 있습니다.
이럴 때 필요한 것이 필기고 정리죠.
지금 이해했고, 풀 수 있다 하들 나중에도 그럴거라는 보장은 없습니다.
개념 공부하면서, 문제 풀면서 새롭게 깨달은 것이 있으면 꼭 기록해야죠.
그리고 완벽해야한다는 강박 관념보다는
빈 부분이 생기면 꼭 보충해야 한다는 강박 관념을 가져야 합니다.
수학은 '이 정도면 됐다'라 생각하는 순간 망하거든요.
개념 복습 안하고, 문제 덜 풀면 금방 감이 떨어집니다.
이 부분 개념 복습할때 항상 힘들었는데 자세한 설명 감사드립니다.
앞으로도 특정 개념/유형에 대한 해설을 종종 올릴 예정입니다.
많은 관심 부탁드립니다~ ^^
WOW 시원하네요 진짜 최고네요 미분계수의 정의에 따르면 저 풀이가 안되는데 저렇게 푼 풀이가 왜 있는지 엄청 궁금했었는데... 저것 때문에 잠이 안와서 늦은 시간까지 저 풀이에 대한 것만 엄청 찾았네요
정말 고맙습니다♡ 진정 수학 고수 이시네요
감사합니다! ^^